Koordinatengleichung berechnen

Question

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ich wiederhole gerade etwas lineare Algebra und da ist mir etwas unklar.

Die Aufgabe ist, aus der Parametergleichung der Ebene x = (6 | 0 | 3) + r * (-2 | -4 | -5) + s * (-10 | -6 | 3) die Koordinatengleichung zu ermitteln.

Im Buch wird das irgendwie so gemacht, dass man zuerst r und dann s eliminiert und das dann irgendwie zusammensetzt. Vielleicht weiß der ein oder andere ja was ich meine. :-D
Letztendlich kommen die so auf die Koordinatengleichung: 3x - 4y + 2z - 24 = 0

Nun ist mir aber noch in Erinnerung, dass ich das "früher" anders gemacht habe, und zwar mit dem Vektorprodukt. Also zwischen dem Stützvektor und einem der Richtungsvektoren.

Habe das mal mit beiden gemacht und kam auf

12x + 24y - 24z = d oder

18x - 9y - 36z = d

(d müsste man eben noch berechnen in dem man irgendeinen Punkt aus der Ebene einsetzt...)

Irgendetwas bringe ich doch hier durcheinander...

Answer 1

X = (6 | 0 | 3) + r * (-2 | -4 | -5) + s * (-10 | -6 | 3)

Hier ein sehr kurzer eleganter Weg. Ermittle das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren. Das gibt den Normelenvektor.

[-2, -4, -5] ⨯ [-10, -6, 3] = [-42, 56, -28] = -14 * [3, -4, 2]

Nun wird x = [6, 0, 3] auf beiden Seiten mit dem Normalenvektor multipliziert.

X * [3, -4, 2] = [6, 0, 3] * [3, -4, 2]

3x - 4y + 2z = 24

Comments

Hab ich mich also doch recht erinnert, dass man das auch mit dem Kreuzprodukt irgendwie machen kann.

Nur verstehe ich den Rechenweg nicht ganz.

"[-2, -4, -5] ⨯ [-10, -6, 3] = [-42, 56, -28] "

Bis hierhin kann ich gut folgen. Dann erinnere ich mich daran, dass wir früher nun so verfahren sind:

-42x + 56y - 28z = d

und dann um d zu bestimmen  z.B. den Punkt [6,0,3] eingesetzt haben.

Wenn ich das alles aber mache, komme ich auf die Koordinatenform: -42x + 56y - 28z = -336

Wo steckt hier der Wurm? Habe hier im Forum folgenden Thread ausgebuddelt, in dem genauso verfahren wird, aber warum klappt es hier nicht??

https://www.mathelounge.de/51605/umstellen-von-parameterform-in-koordinatenform

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Bitte nimm den vereinfachten Normalenvektor [3, -4, 2].

Der liefert handlichere Zahlen.

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-42x + 56y - 28z = -336 ist ja das gleiche wie meine Lösung. Du kannst deines noch durch -14 teilen.

Siehe gleiches Ergebnis beim Löser für Ebenengleichungen.

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Arrrrrgh *Kopf gegen Wand hau*

Das erklärts natürlich.. Vielen Dank !!!