Innnerhalb welchen Zeitraumes verdoppelt sich der Waldbestand w_{1}(t)?

Question

Der Holzbestand eines Waldes(in Festmetern) unterliegt dem Wachstumsgesetz

\( w_{1}(t)=10^{5} · e^{0,03 t} \)

Ein zweiter Wald hat zum Zeitpunkt t = 0 einen Bestand von 80000 Festmetern. Und eine Wachstumsrate von \( \lambda_{2}=0,035 \).

a) Innnerhalb welchen Zeitraumes verdoppelt sich der Waldbestand \( w_{1}(t) \)?

b) Wann ist der Holzbestand in beiden Wäldern gleich groß?

Answer 1

Der Baumbestand wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben

w ( t )  = w₀ * e^{λ*t}

1.Baumbestand
w₁ ( t ) = 100.000 * e^{0.03*t}
2.Baumbestand
w₂ ( t ) = 80.000 * e^{0.035*t}

a) Innnerhalb welchen Zeitraumes verdoppelt sich der Waldbestand

w₁ ( t ) = 100.000 * e^{0.03*t} = 200.000
e^{0.03*t} = 200000 / 100000 = 2  | ln ( )
0.03 * t = ln ( 2 )
t = 23.1 Jahre
Probe
100.000 * e^{0.03*23.1} = 200.000  | stimmt

b) Wann ist der Holzbestand in beiden Wäldern gleich groß ? 

w₁ ( t ) = w₂ ( t )
100.000 * e^{0.03*t}  = 80.000 * e^{0.035*t}
e^{0.03*t}  / e^{0.035*t}  = 80000 / 100000
e^{[0.03 - 0.035]*t}  = 0.8
e^{-0.005*t} = 0.8  | ln ( )
-0.005 * t = ln ( 0.8 )
t = 44.63 Jahre
Probe
100.000 * e^{0.03*44.63}  = 80.000 * e^{0.035*44.63}
380.487 = 381.484  | stimmt