Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt?

Question

Gegeben sind die drei Ebenen \( \varepsilon_{1,} \varepsilon_{2,} \varepsilon_{3} \) Schneiden sich die Ebenen in einem Punkt? Falls ja, berechne man diesen.

Ebene \( \varepsilon_{1} \) durch die Punkte R, S, T \( \quad \mathrm{R}(3 ; 2 ; 3), \mathrm{S}(5 ; 2 ;-1), \mathrm{T}(2 ;-2 ; 9) \)

Ebene \( \varepsilon_{2} \) durch den Punkt \( \mathrm{P}(-2 ; 4 ; 1) \) und den Normalenvektor \( \vec{n}=(1~2~0)^{\mathrm{T}} \)

Ebene \( \varepsilon_{3} \) durch die Gleichung \( 0 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+0 \mathrm{z}=2 \)

Answer 1

Ich würde für alle Ebenen die Koordinatenform notieren:

E1:

N = ([5, 2, -1] - [3, 2, 3]) ⨯ ([2, -2, 9] - [3, 2, 3]) = [-16, -8, -8] = - 8·[2, 1, 1]

2·x + y + z = 11

E2:

x + 2·y = 6

Jetzt haben wir das folgende Gleichungssystem

2·x + y + z = 11
x + 2·y = 6
2·y = 2

Wir erhalten als Lösung: x = 4 ∧ y = 1 ∧ z = 2

Comments

oh vielen Dank für die Lösung.

Du bist ja immer das Beste..

aber kannst du mir ein bisschen erklären , weil ich bald machte schreibe und muss ich Lösungsweg irgendwie schreiben. Aber meine Mathedozentin gibt uns immer Minuspunkte...wenn ich nicht wie sie gelöscht habe...

so die Frage ist gibt es einen anderen Lösungsweg ??

danke!

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Es gibt immer mehrere Wege nach Rom zu kommen. Ich würde immer den Weg wählen der mir momentan am einfachsten erscheint.

Es ist aber unmöglich dir jetzt alle Wege die nach Rom führen aufzuzählen. Da gibt es viel zu viele.

Das was du machen musst hier ist ja nur verschiedene Ebenen in die Koordinatenform zu bringen. Das solltet ihr auch im Unterricht besprochen haben. Ich weiß nicht was ihr besprochen habt.

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ist die Skalarprodukt  -8 ( 2 -1 1 ) statt - 8·[2, 1, 1]

da 2x6 - (-1 x - 4 ) = 8 ist ?

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Ich rechne

(-4) * (-1) - (2) * (6) = 4 - 12 = - 8