Lineare Optimierung: Lakritz und Gummibären. Wie viel muss der Betrieb herstellen um den max. Gewinn zu erzielen?

Question

In einem nach Gewinn strebenden Betrieb werden die Produkte Lakritz und Gummibären gefertigt. Der Deckungsbeitrag pro 100g Packung bei Lakritz berägt 1,20 € und bei Gummibären 1,80 €.

Zur Fertigung steht eine Maschine zur Verfügung, die die beiden Produkte durchlaufen müssen. Auf ihr kann

- stündlich max 11 kg (entspricht etwa 110 Packungen) Lakritz hergestellt werden, falls in dieser Zeit keine Gummibären gefertigt werden,

- stündlich max 22 kg (entsprechend 220 Packungen) Gummibären hergestellt werden, soweit in dieser Zeit kein Lakritz hergestellt wird,

- oder aber eine entsprechende Kombination von beiden Produkten hergestellt werden.

Umrüstzeiten entstehen nicht.

Der sich anschließende Automat verpackt die erstellten Süßigkeiten in Packungen. Dabei können max. 160 Packungen pro Stunde gepackt und verschweißt werden.

In der Versandabteilung werden jeweils 10 Packungen Gummibären in einen Karton zum Versand gepackt. Die Mitarbeiter können stündlich max. 13 Kartons zum Versand fertig machen. Lakritzpackungen werden lose verkauft.

Welche Packungsanzahlen Lakritz und Gummibären muss der Betrieb stündlich herstellen, wenn er max. Gewinn erzielen will? 

a) Geben Sie die genaue Variblendefinition an!

b) Formulieren Sie die Zielfunktion unter Verwendung Ihrer Variablenbezeichnung!

c) Formulieren Sie die Nebenbedinungen!

d) Stellen Sie Zielfunktion und Nebenbedingung graphisch dar. Ermitteln Sie die optimale Lösung für die Produkte!

Kann jemand zumindest bei der Aufstellung der Nebenbedingungen helfen? 

Die Variabeln habe ich mit x = hergestellte Menge Lakritz und y = hergestellte Menge Gummibärchen benannt. 

Daraus resultiert die Zielfunktion: Z(x, y) = 1,2x + 1,8y 

Die ersten Nebenbedingung habe ich so:

x ≥ 0 ; y ≥ 0

dann bin ich mir nicht mehr sicher:

11x=110 
22y=220 
x + y ≤ 160 
x ≤ 130   

Comments

Kann jemand zumindest bei der Aufstellung der Nebenbedingungen helfen?

Die Variabeln habe ich mit x = hergestellte Menge Lakritz und y = hergestellte Menge Gummibärchen benannt.

Daraus resultiert die Zielfunktion: Z(x, y) = 1,2x + 1,8y

Die ersten Nebenbedingung habe ich so:

x ≥ 0 ; y ≥ 0

dann bin ich mir nicht mehr sicher:

11x=110
22y=220
x + y ≤ 160
x ≤ 130

Answer 1

Ein Versuch und mehr verbal ...

Ich würde die Variablen so wählen:

x - Anzahl der Packungen Lakritz

y - Anzahl der Packungen Gummibärchen

Zielfunktion z(x,y) = 1,2 Euro * x + 1,8 Euro * y  -> Max.

Das vorliegende Optimierungsproblem ist in drei Abschnitten gegliedert:

- Produktion

- Verpackung

- Versand

Aus den vorgenannten Abschnitten ergeben sich gewisse Nebenbedingungen.

Schauen wir uns die Produktion an (alles pro Stunde gedacht):

Hier sind drei Möglichkeiten denkbar, nämlich

1. Es wird nur Lakritz hergestellt, und zwar dann  genau 110 Packungen davon.

2. Es werden nur Gummibärchen hergestellt, und zwar dann genau 220 Packungen davon.

3. Es werden sowohl Lakritz als auch Gummibärchen hergestellt, aber das Verhältnis der Packungen zueinander ist nicht bekannt.

-> Es können maximal 110 Packungen an Lakritz oder maximal 220 Packungen an Gummibärchen oder aber ein Verhältnis zwischen den beiden Arten hergestellt werden:

=> Nebenbedingungen: x ≤ 110, y ≤ 220

An die Produktion folgt die Verpackung. Hier wird nur gesagt, dass 160 Packung maximal durchlaufen, egal was in der Packungen drin ist.

=> Nebenbedingung: x + y ≤ 160

Zum Schluss noch der Versand. 10 Packungen mit Gummibärchen in 13 Karton. Also können maximal 10*13 = 130 Packungen an Gummibärchen versandt werden

=> Nebenbedingung: y ≤ 130

Da wir bei der Produktion drei Varianten haben, spielen wir diese mal durch:

-Variante 1 (nur Lakritz): Da gehen maximal 110 Packungen. Diese Anzahl an Packungen kann auch der Verpackungsautomat verkraften (kleiner als 160). Da man stündlich 13 Kartons füllen kann und die Lakritzpackungen lose in den Karton kommen können, könnte man die Packungen auf die 13 Kartons verteilen, zumal wir wissen, dass 10 Packungen an Gummibärchen sowieso in einem Karton passen würde. Somit würde ich mit dieser Variante 110 *1,20 Euro = 132 Euro umsetzen.

-Variante 2 (nur Gummibärchen): Da gehen laut Produktionskapazität maximal 220 Packungen. Diese Anzahl an Packungen kann der Verpackungsautomat nicht verkraften (kleiner als 160 nur). Also, kann man maximal 160 Packungen an Gummibärchen verpacken. 160 Packungen an Gummibärchen kann man auch nicht in den Versand geben, da hier nur maximal 130 Packungen gehen. Somit würde ich mit dieser Variante 130 *1,80 Euro = 234 Euro umsetzen.

-Variante 3 (Mischung aus Lakritz und Gummibärchen): Mehr als 130 Packungen an Gummibärchen kann ich nicht versenden. Produzieren und verpacken kann ich 130 Packungen an Gummibärchen schon. Somit folgt y = 130. Da der Verpackungsautomat maximal 160 Packungen realisiert, ist die Anzahl der Lakritzpackungen gleich 30 (x = 30). 30 Lakritzpackungen können auch produziert und auch versandt werden. Hier ergibt sich ein Umsatz von 1,20 Euro * 30 + 1,80 Euro * 130 = 270 Euro

-> Variante 3 ist im Hinblick auf ZF-Maximierung die optimale Variante.