Training zur Abstandsbestimmung: Vektorenrechnung mit Punkten

Question

Training zur Abstandsbestimmung:

a) Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundfläche \( \mathrm{ABC} \) mit \( \mathrm{A}=(2|2| 3) \), \( B=(0|-4| 3) \) und \( C=(2|-2| 1) \) und die Spitze \( S=(7|-4| 6,5) \).

Berechnen Sie die Höhe.

b) Zeigen Sie, dass \( \left.\mathrm{E}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+r \begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+5\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \) und \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 4 \\ -4\end{array}\right)+t \left( \begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \) zueinander parallel sind. Berechnen Sie deren Abstand.

c) Welche Ebene ist vom Ursprung am weitesten entfernt?

\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-5 \\ -7 \\ 3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 1\end{array}\right) \)

\( \mathrm{E}_{2}:\left(\left( \begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}-4 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ 0\end{array}\right)=0 \)

\( E_{3}: 2 x_{1}-2 x_{2}+4 x_{3}=12 \)

d) Zeigen Sie, dass sich die Ebene E: \( x_{1}-4 x_{2}+x_{3}=12 \) und die Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}9 \\ 1 \\ 10\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \) schneiden.

Wie viele Punkte auf \( g \) sind 3 LE von \( E \) entfernt?

Answer 1

AB = [-2, -6, 0]

AC = [0, -4, -2]

AS = [5, -6, 3.5]

Grundfläche G

[-2, -6, 0] ⨯ [0, -4, -2] = [12, -4, 8]
|[12, -4, 8]| = 4·√14

Spatvolumen V

[-2, -6, 0] ⨯ [0, -4, -2] ⋅ [5, -6, 3.5] = 112

Höhe = V / G

h = 112 / (4·√14) = 2·√14 = 7.483

Comments

Super ich habe es richtig gemacht!
Bei d habe ich E in g eingesetzt und S ermittelt? Stimmtndas? Umd bei c ) komme ich gar nicht weiter, was muss ich da machen?

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Hast du nicht g in E eingesetzt ?

(9 + t) - 4·1 + (10 + 2·t) = 12
t = -1

Es wird 2 Punkte geben die von der Ebene die Entfernung 3 haben. Auf beiden Seiten der Ebene einen Punkt.

c) Wandel alle Ebenen in die Koordinatengleichung. damit kann man sehr einfach den Abstand zum Ursprung bestimmen

2·x - 2·y + 4·z = 12

Abstand zum Ursprung. Man braucht dafür nur die rechte Seite durch die Länge des Normalenvektors teilen.

12 / √(2^2 + 2^2 + 4^2) = √6

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Ja genau g in E eingesetzt und habe da auch -1 raus und damit hatte ich dem Schnittpunkt ausgerechnet, owohl der nicht gesucht ist. Wie kriege ich denn die zwei Punkte raus,? Und woher weiß ich das es zwei Punkte sind?

Und bei c) ist der Normalenvektor die linke seite der Gleichumg? Und die teile ich mit der rechten seite der Gleichumg? Richtig?

Und wie wandle ich diese Ebenen um? Weil es drei vektoren sind verwirrt mich das etwas.

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Wie kriege ich denn die zwei Punkte raus? 

Die Geradengleichung in die Abstandsformel einsetzen die gleich 3 gesetzt wird. Dann das Auflösen nach t.

Und woher weiß ich das es zwei Punkte sind? 

Steck mal einen Bleistift durch ein DIN A 4 Papier und überlege wie viele Punkte es auf dem Bleistift gibt, die einen bestimmten Abstand von dem Blatt haben? Oder was denkst du wenn du zwei Parallele Ebenen zur gegebenen im Abstand 3 nimmst. Wie oft schneiden diese den Bleistift?

Ich finde das gute an der analytischen Geometrie, dass man sich das alles so toll vorstellen kann, wenn man sich bemüht. Man muss sich nur die Mühe machen und mal konstruieren oder zeichnen. Wer das nicht im Kopf kann der macht es eben mit Bauklötzchen oder ähnlichem.