Aufgabe (Hund und Herrchen):
Man stelle sich folgende Situation vor: Ein Hundebesitzer geht mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus. Sein Hund hat sich um \( A \) Meter von ihm entfernt und will nun zurück, dabei läuft er immer geradewegs auf sein Herrchen zu, und zwar mit konstanter Geschwindigkeit \( v_{2} \). Wie verläuft der Weg des Hundes, wann und wo erreicht er sein Herrchen?
Zur Modellierung nehmen wir an, dass der Hundebesitzer im Ursprung eines Koordinatensystems startet und entlang der \( y \)-Achse geht. Der Hund startet am Punkt \( (A, 0) \) mit \( A<0 \), also links vom Herrchen. Wir benutzen zum einen zeitabhängige Koordinaten \( ((X(t), Y(t)) \), zum anderen sei der Weg des Hundes durch eine Kurve \( y=y(x) \) beschrieben, zusammen
\( x=X(t) \) und \( y=Y(t)=y(x)=y(X(t)) \)
Die konstante Geschwindigkeit drückt sich als
\( X^{\prime}(t)^{2}+Y^{\prime}(t)^{2}=v_{2}^{2} \) (1)
aus. Außerdem lāuft der Hund immer auf sein Herrchen zu, also nach rechts, somit gilt \( X^{\prime}(t)>0 \)
für alle \( t \), damit ist \( X=X(t) \) eine streng monoton wachsende und folglich invertierbare Funktion. Das liefert den Zusammenhang \( x=X(t) \quad \Rightarrow \quad t=X^{-1}(x) \quad \) zwischen Zeit und r-Koordinate. Wenn man Gleichung (1) nach \( Y^{\prime} \) auflöst, erhält man
\( \sqrt{v_{2}^{2}-X^{\prime}(t)^{2}}=Y^{\prime}(t)=\frac{d}{d i} y(X(t))=y^{\prime}(X(t)) \cdot X^{\prime}(t) \)
\( \Rightarrow \quad X^{\prime}(t) \quad=\frac{v_{2}}{\sqrt{1+y^{\prime}(X(t))^{2}}} \) (2)
Dass der Hund immer in Richtung der aktuellen Position seines Herrchens läuft, bedeutet, dass der Schnittpunkt der Tangente
\( g(\xi)=y(x)+y^{\prime}(x)(\xi-x) \)
mit der \( y \)-Achse die aktuelle Position des Herrchens ist, die man aus der Geschwindigkeit und der aktuellen Zeit berechnen kann, also
\( y(x)-x y^{\prime}(x)=g(0)=v_{1} X^{-1}(x) \quad \Rightarrow \quad X^{-1}(x) \quad=\frac{1}{v_{1}}\left(y(x)-x y^{\prime}(x)\right) \) (3)
Durch Differenzieren erhält man daraus
\( \left(X^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{v_{1}}\left(y^{\prime}(x)-y^{\prime}(x)-x y^{\prime \prime}(x)\right)=-\frac{1}{v_{1}} x y^{\prime \prime}(x) \)
andererseits gilt nach der Regel über die Ableitung von Umkehrfunktionen
\( \left(X^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{X^{\prime}\left(X^{-1}(x)\right)}=\frac{(2)}{=} \frac{\sqrt{1+y^{\prime}(x)^{2}}}{v_{2}} \)
Vergleicht man die letzten beiden Formeln, erhält man die Differentialgleichung
\( \sqrt{1+y^{\prime}(x)^{2}}+\frac{\sigma_{2}}{v_{1}} x y^{\prime \prime}(x)=0 \)
Aus der Startposition des Hundes ergeben sich, unter Benutzung von (3), die Anfangsbedingungen:
\( y(A)=0, \quad y^{\prime}(A)=0 \)
a) Lösen Sie das AWP (mit der Bezeichnung \( \left.\alpha:=\frac{m}{v_{2}}\right) \)
\( \sqrt{1+y^{\prime}(x)^{2}}+\frac{1}{\alpha} x y^{\prime \prime}(x)=0, \quad y(A)=0, y^{\prime}(A)=0 \)
Tipps: Substitution \( z=y^{\prime}, \frac{d}{d} \operatorname{arsinh}(z)=\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} \)
b) Begründen Sie, dass diese Lōsung auch für \( x=0 \) existiert und berechnen Sie den Ort, wo der Hund sein Herrchen erreicht. Welche Zeit benötigt er datür?
c) Plotten Sie für \( A=-100, v_{1}=1,5, v_{2}=3 \) die berechnete Lösung.
d) Geben Sie ein andersgeartetes (nicht biologisches) Szenario an, das man so modellieren kann.
