Parameter für homogene DGL 2.Ordnung wählen

Question

Gegeben ist die Differentialgleichung: y'' +2ay' +y = 0
Kann a so gewählt werden, dass die folgenden Funktionen Lösungen der Differentialgleichung sind? Begründung?

f1(x) = x , f2(x) = e^x

Als Lösung der charakteristischen Gleichung habe ich   -a ±√a² -1

Wie gehe ich die Aufgabe an? Mich verwirrt vor allem dass ich 2 verschiedene Lösungen habe.

Answer 1

Die Lösung der chakteristischen Gleichung lautet:

$$ k_{1.2} = -a \pm  \sqrt{a^2-1} $$

Zur Lösung des Problemes muss das betrachtet werde, was unter der Wurzel steht:

a² - 1

Man betrachte den Fall:

a² - 1 = 0

Das ist einer von ingesamt 3 Fällen. (<=>)

a = -1 ist die Lösung.