Integral. Suche Untersumme f(x)=x^3 über dem Intervall (0;x).

Question

ich muss die Fläche zwischen dem Graphen von f(x)=x^3 über dem Intervall (0;x) berechnen, bin aber nicht weit gekommen. Zunächst habe ich mit der Untersumme angefangen. Mein Ansatz lautet :

x/n *[0+(x/n)^3+(2x/n)^3+....+((n-1)x/n)^3]

ab hier komm ich nicht mehr weiter....

Answer 1

U_n = x/n *[0+(x/n)³+(2x/n)³+....+((n-1)x/n)³]       | (x/n)^3 ausklammern

= x/n *[0+(x/n)³+(2x/n)³+....+((n-1)x/n)³]   

= x/n * (x/n)^3 [ 0 + 1^3 + 2^3 + ..... + (n-1)^3]     | [] enthält bekannte Reihe. Summenformel nachschlagen, wenn vergessen.

= x/n * (x/n)^3 [ 1/4 (n^2-2 n^3+n^4)    ]

= x^4 * 1/4 ((n^2-2 n^3+n^4 )/n^4)         | Klammer vereinfachen.

= x^4 * 1/4 (1/n^2 -2/n +1)

Grenzwert n ---> unendlich

U_n -------> x^4 / 4 * 1 = x^4 / 4.

Comments

danke das sie geantwortet haben jedoch verstehe ich es nicht wirklich. Bis zur Summenformel habe ich es verstanden aber das in der großen Klammer nicht. Wie kommen Sie auf 1/4 und auf die Variablen in der kleinen Klammer ?

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Summenformel musst du nachschlagen.

Z.B. hier und dann gleich anpassen auf (n-1) Zahlen.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm

1^3 + 2^3 + .... + (n-1)^3 = ((n-1)^2 n^2) / 4

Wenn du daran zweifelst: Führe die vollst. Induktion im Link noch selbst durch.

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Ahh okay vielen vielen Dank