Zeigen sie dass für k ungleich 0 alle Funktionen die x-Achse berühren

Question

Hallo hoffe mir kann jemand helfen. Es geht um die Funktion:

fk(x)= 2x^3-3kx^2+k^3

Zeigen sie, dass für k≠0 alle Funktionen die x-Achse berühren.

Wie kann ich das zeigen? Verstehe nicht was genau ich berechnen muss.

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Antwort aus Versehen als Kommentar geschrieben.

Answer 1

f ( x ) = 2x³ - 3kx² + k³
Berührpunkt heißt
f ( x ) = 0
f ´( x ) = 0

f ( x ) = 2 * x^3 - 3 * k * x^2 + k^3
f ´( x ) = 6 * x^2 - 6 * k * x

2 * x^3 - 3 * k * x^2 + k^3  = 0
6 * x^2 - 6 * k * x  = 0
6 * x^2 = 6 * k * x 
k * x = x^2
Falls x ungleich 0
k = x
in 1. eingesetzt
2 * k^3 - 3 * k * k^2 + k^3  = 0
2 * x^3 - 3 * k^3 + k^3  = 0
0 = 0
für x ≠ 0  und somit für k ≠ 0
Berührpunkt
x = k

Answer 2

In einer Nullstelle muss auch die 1. Ableitung NULL sein.  Daher erst mal die 1. Ableitung Null setzen. 

fk(x)= 2x³-3kx²+k³ 
fk'(x) = 6x² - 6kx  6x² - 6kx  = 0 
6x(x-k) = 0. x1 = 0 und x2 = k. Nun kontrollieren, welche Stelle auch Nullstelle ist. fk(0) = k³ ≠0, da k≠0 fk(k) = 2k³ - 3k³ + k³ = 0 stimmt. x=k ist für alle Funktionen fk(x) eine doppelte Nullstelle.  Ist sie allenfalls 3-fach? Kontrolle (x-k)³ = x³ - 3kx² + 3k² x - k³ . Das ist kein reelles Vielfaches von fk(x). Daher berührt der Graph von allen fk(x) mit k≠0 die x-Achse an der Stelle x=k. 

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Versuch mit verschwundenen Zeilenumbrüchen nochmals:

n einer Nullstelle muss auch die 1. Ableitung NULL sein.  Daher erst mal die 1. Ableitung Null setzen. 

fk(x)= 2x³-3kx²+k³ 

fk'(x) = 6x² - 6kx  

6x² - 6kx  = 0 

6x(x-k) = 0. 

x1 = 0 und x2 = k. 

Nun kontrollieren, welche Stelle auch Nullstelle ist. 

fk(0) = k³ ≠0, da k≠0 

fk(k) = 2k³ - 3k³ + k³ = 0 stimmt. 

x=k ist für alle Funktionen fk(x) eine doppelte Nullstelle.  Ist sie allenfalls 3-fach? 

Kontrolle (x-k)³ = x³ - 3kx² + 3k² x - k³ . Das ist kein reelles Vielfaches von fk(x). Daher berührt der Graph von allen fk(x) mit k≠0 die x-Achse an der Stelle x=k.