Versuch mit verschwundenen Zeilenumbrüchen nochmals:
n einer Nullstelle muss auch die 1. Ableitung NULL sein. Daher erst mal die 1. Ableitung Null setzen.
fk(x)= 2x3-3kx2+k3
fk'(x) = 6x2 - 6kx
6x2 - 6kx = 0
6x(x-k) = 0.
x1 = 0 und x2 = k.
Nun kontrollieren, welche Stelle auch Nullstelle ist.
fk(0) = k3 ≠0, da k≠0
fk(k) = 2k3 - 3k3 + k3 = 0 stimmt.
x=k ist für alle Funktionen fk(x) eine doppelte Nullstelle. Ist sie allenfalls 3-fach?
Kontrolle (x-k)3 = x3 - 3kx2 + 3k2 x - k3 . Das ist kein reelles Vielfaches von fk(x). Daher berührt der Graph von allen fk(x) mit k≠0 die x-Achse an der Stelle x=k.