Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte von fp(x)=(x^{2}-2x-p+2)e^{x}.

Question

Hey :-)

Ich soll die Orstkurve vom Tiefpunkt der Funktion fp(x)= (x^{2} - 2x - p + 2)e^{x} bestimmen.

Leider komme ich auf kein richtiges Ergebnis, und auch das Mathematik Programm von der Schule versagt.

Florean

Comments

Eine Idee wäre nur den Term in der Klammer zu betrachten, denn eine e-Funktion selbst besitzt ja keine Extrema (In Bezug auf e^{x}).

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Das ist richtig. Bestimme also die einzige Nullstelle der Ableitung der Klammer.

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Alles klar, dann stimmt mein Lösungsweg :-)

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Leider habe ich einen Fehler gemacht. Du musst schon die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion f_p(x) bestimmen. Verwende dazu zum Beispiel die Produktregel und klammere e^x aus. Erst dann sind die Nullstellen dieser Klammer die Extremstellenkandidaten.

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Habe ich bereits genau so gemacht :-) Aber Danke für den Hinweis :-)

Answer 1

f ( x ) = ( x² - 2x - p + 2 ) e^x
f `( x ) = ( 2x - 2) * e^x + ( x^2 - 2x - p + 2 ) *e^x
f ´( x ) = ( 2x - 2 + x^2 - 2x - p + 2 ) * e^x
f ´( x ) = (  x^2 - p ) * e^x
x^2 - p = 0
x^2 = p
x =  √ p
x =  - √ p
Die Lösungen gelten nur p > 0

f ´´( x ) = ( x^2 + 2x - p ) * e^x
Hoch- oder Tiefpunkt
f ´´( √ p  ) = ( (√ p)^2 + 2(√ p) - p ) * e^{√p}
f ´´( √ p ) = (  2(√ p)  * e^{√p} ist stets positiv ( Tiefpunkt )
f (  √ p  ) = ( (  √ p  )² - 2(  √ p  ) - p + 2 ) * e^{√p}
f (  √ p  ) = (  - 2(  √ p  )  + 2  ) * e^{√p}
f (  √ p  ) = 2 * (  1 - √ p  )   * e^{√p}
T (  √ p  | 2 * (  1 - √ p  )   * e^{√p}  )

Ortskurve
x =  √ p 
y = 2 * (  1 - √ p  )   * e^{√p}
ort ( x ) = 2 * ( 1 - x ) * e^x

So.Hoffentlich stimmt das alles.