Kurvendiskussion mit Nullstellen und Flächenberechnung für f(x) = 1/8*x^4 - x^2 - 9/8 und g(x) = -3/8*x -9/8

Question

1. Gegeben seien die Funktionen f und g durch die Gleichungen f(x) = 1/8*x^4 - x^2 - 9/8 und g(x) = -3/8*x -9/8

\( f ( x ) = \frac { 1 } { 8 } x ^ { 4 } - x ^ { 2 } - \frac { 9 } { 8 } \) und \( g ( x ) = - \frac { 3 } { 8 } x - \frac { 9 } { 8 } \)

a) Untersuchen Sie f auf Symmetrie. Geben Sie das Verhalten im Unendlichen an.

b) Berechnen Sie die Nullstellen beider Funktionen.

c) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrema von f und untersuchen Sie f auf Wendepunkte.

d) Weisen Sie nach, dass sich die Graphen im Punkt (0; -9/8) schneiden. Es gibt weitere Schnittpunkte, berechnen Sie diese.

d) Skizzieren Sie beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem.

e) Berechnen Sie die Fläche, die beiden Graphen einschließen.

Answer 1

1. a)

f(x) ist Achsensymmetrisch, da unsere unbekannte nur in geraden Exponenten vorkommt.
lim _x→-∞ f(x) = ∞
lim _x→∞ f(x) = ∞

b)

f(x) = 0 
1/8·x^4 - x^2 - 9/8 = 0
x^4 - 8·x^2 - 9 = 0
z^2 - 8·z - 9 = 0

z = 9 --> x = ±3 
z = -1 --> für x keine reelle Lösung

g(x) = 0 
- 3/8·x - 9/8 = 0
- 3·x - 9 = 0
- 3·x = 9
x = - 3

c)

f '(x) = x^3/2 - 2·x = 1/2·x·(x^2 - 4) = 0
x1 = 0
x2 = -2
x3 = 2

f ''(x) = 3·x^2/2 - 2

f ''(0) = -2 --> Hochpunkt
ff ''(2) = 4 --> Tiefpunkt. Aus Achsensymmetrie folgt das bei -2 ebenso ein TP ist.

f(0) = -9/8 --> HP(0 | -9/8)
f(2) = -25/8 --> TP1(-2 | -25/8) ; TP2(2 | -25/8)

Wendepunkte f ''(x) = 0

3·x^2/2 - 2 = 0
x^2 - 4/3 = 0
x = ± 2/3·√3

f(2/3·√3) = -161/72

WP1(2/3·√3 | -161/72) ; WP2(-2/3·√3 | -161/72)