Beweis mit vollständiger Induktion der folgenden Gleichung:

Question

$$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ i.(i!) } =\quad (n+1)!\quad -\quad 1 $$  ∀n ≥ 1

Answer 1

∑ (i = 1 bis n) i · i! = (n + 1)! - 1

Induktionsanfang: n = 1

∑ (i = 1 bis 1) i · i! = (1 + 1)! - 1

1 · 1! = (1 + 1)! - 1

1 = 2 -1

1 = 1

Induktionsschritt: Aus n folgt n + 1

∑ (i = 1 bis n + 1) (i · i!) = (n + 1 + 1)! - 1

∑ (i = 1 bis n) (i · i!) + ((n + 1) · (n + 1)!) = (n + 1 + 1)! - 1

(n + 1)! - 1 + (n + 1) · (n + 1)! = (n + 2)! - 1

(n + 1)! + (n + 1) · (n + 1)! = (n + 2)!

(1 + (n + 1)) · (n + 1)! = (n + 2)!

(n + 2) · (n + 1)! = (n + 2)!

(n + 2)! = (n + 2)!