Betragsungleichung mit Bruch |(x-1)/(2+x)| < 1/2

Question

Löse die folgende Ungleichung:

 |(x-1)/(2+x)| < 1/2

Comments

Konnten die Antworten ( 3 ) dir weiterhelfen ?

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studierst du an der tu graz?

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meinst du mich georgborn oder
den Fragesteller ?
Ich nicht.
Und weshalb fragst du ?

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den fragesteller, weil ich exakt das selbe beispiel lösen soll :)

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ja studiere an der tu graz ;)

die Betragsungleichung wurde in der Vorlesung nicht besonders einleuchtend erklärt ! 

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Deshalb meine Frage : Konnten die Antworten ( 3 ) dir weiterhelfen ?
Ist die Frage zu deiner Zufriedenheit beantwortet ?

Answer 1

Ich würde mir die Funktion erstmal aufzeichen, dann sieht man besser in welchem Bereich die Ungleichung gilt.

Answer 2

|(x - 1)/(2 + x)| < 1/2

|(x - 1)|/|(2 + x)| < 1/2

Mach hier jetzt mal 3 Fallunterscheidungen

Fall 1: x < -2

Fall 2: -2 >= x < 1

Fall 3: x >= 1

Du solltest als Lösung 0 < x < 4 bekommen.

Comments

Mach hier jetzt mal 3 Fallunterscheidungen
Warum denn so entsetzlich kompliziert ?

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Du meinst einfach

(x - 1)/(2 + x) = 1/2 

lösen und die Fallunterscheidung hinterher machen ? Oder was genau ?

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Eine Fallunterscheidung ist bei dieser einfachen Ungleichung weder vorher noch hinterher nötig.
Ich nehme an, dass du auch niemandem raten würdest, die einfache quadratische Gleichung  x² = 4  mit der p-q-Formel zu lösen.

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Oder quadrieren?

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"Eine Fallunterscheidung ist bei dieser einfachen Ungleichung weder vorher noch hinterher nötig."

Dann probiere du es mal hilfmirbitteweiter allgemeingültig zu erklären. Damit er nicht nur diese sondern auch ähnliche Aufgaben lösen kann.

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Ich erkläre es dir :

| (x-1) / (2+x) | < 1/2

- 1/2 < (x-1) / (2+x) = 1  -  3 / (2+x) < 1/2

- 3/2 < - 3 / (2+x)  < - 1/2

2/3 < (2+x) / 3 < 2

0 < x/3 < 4/3

0 < x < 4

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@hj214
Dann führe doch bitte die einfache Lösung einmal vor.

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Vielen lieben Dank. Also ich habe es zumindest verstanden.

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Die Antwort, die der Mathecoach dem Fragesteller gegeben hat,
entspricht einer üblichen Lösungsweise  und  hat den Vorteil relativ
gut nachvollziehbar zu sein.  Insbesondere für den Fragesteller.

Die Lösung von hj212 ist deutlich einfacher für Leute die gut
Mathe können. Ich selbst habe diese Lösungsvariante bisher
noch nicht gesehen.

Trotzdem brauchte es wieder einmal 3 Kommentare bevor die
Lösungsvariante hier eingestellt wurde.

Kommentar 1 von hj214 hatte den Informationsgehalt null.
( Ich weiß was, was ihr nicht wisst. Sage es euch aber nicht )

Kommentar 2 von hj214 hatte den Informationsgehalt null
( Ich weiß was, was ihr nicht wisst. Sage es euch aber nicht )
und konnte mal wieder als arrogant empfunden werden.

hj212 : du bist doch auch hj210 bis hj215. Oder?

hj215 fällt ja dadurch auf das er, wenn er ab und zu danebenlangt
, sich dann ohne abschließenden Kommentar den Strang verläßt.

Dies gilt bei mir für, " ein Kind rollt .. " und " Zusammstoß zweier Züge "

Falls du also auch hj215 bist wiederhole ich :
wie wäre es endlich einmal mit einem öffentlichen
Disput über " ein Kind rollt eine Bahn hinab " dem du dich ja
bisher verweigerst hast. Ich stelle gern die Frage neu hier
wieder ein.

das schreibe ich jetzt immer unter die Kommentare.

kein freundlicher Gruß

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ich habe die Umformung, die zur drittletzten Ungleichung führt, ncith verstanden - halte sie ohne Fallunterscheidung für unberechtigt.

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welchen umformungsschritt meinst du ?
Zwischen welchen Zeilen ?

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jb522: Dort wurde überall der Kehrwert genommen und gleichzeitig mal (-1) gerechnet. So bleiben die Ungleichzeichen gültig.

EDIT: Am Anfang ist hier alles Neg. nachher Pos. Sonst muss man etwas aufpassen. Vgl. Kommentar von pwm unter Antwort von Ullim.

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- 3/2 < - 3 / (2+x)  < - 1/2

mal - 1

3/2 > 3 / (2+x)  > 1/2

Jetzt die Kehrwerte bilden

2/3 < (2+x) / 3 < 2/1

mal 3

2 < 2 + x < 6

minus 2

0 < x < 4

Sieht denke ich alles ok aus. 

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Du hast die Kehrwerte gebildet und die Ungleichheitszeichn vertauscht? Also

-1/2 < 1 => -2>1

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jb522. Wie gesagt ist in der besagten Umformung zuerst alles schön brav neg. Daher geht die Umformung i.O.

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@pwm

Bezüglich des Ungleiheitszeichens : ich habe einmal ein
bißchen  jongliert

Wird eine Ungleichheitskette mit einem Negativfaktor
multipliziert kehren sich die Ungleichheitszeichen um.

zum Kehrwert : befindet sich eine Ungleichheitskette
nur im positiven oder im negativen Bereich kehren sich
die Ungleichheitszeichen bei der Kehrwertbildung um .

Dies trifft nicht zu falls die Ungleichheitskette in beiden
Bereichen ist.

mfg Georg

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wo diese Überlegungen verwendet wurden, enthielten die Ungleichungen noch die Unbekannte x, also war nix über positiv und negativ entschieden.

"Dies trifft nicht zu falls die Ungleichheitskette in beiden
Bereichen ist."
Das ist natürlich ein wenig unscharf formuliert.

Wie schon gesagt, wirkt sich das bei diesem Beispiel nicht als Fehler aus ... dann ist es immer schwierig, darüber zu diskutieren.

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Dein Kommentar bezog sich auf die Umformung nach

3/2 > 3 / (2+x)  > 1/2 

Aus der Gleichung geht hervor das der mittlere Term zwischen 1/2 = 0.5 und 3/2 = 1.5 liegt. Damit ist der mittlerere Term positiv. Ein x was zu einem negativen Term führt ist hier ja erst gar nicht erlaubt.

Etwas anderes wäre es, wenn auf der rechten Seite der Ungleichungskette etwas Negatives stehen würde. Dann hättest du ein Problem mit dem Kehrwert.

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@Mathecoach
Stimmt meine Aussage:
Falls sich die Ungleichheitskette
- nur im positivem Bereich
oder
- nur im negattivem Bereich
befindet kehren sich  die Ungleichheitszeichen
bei der Kehrwertbildung um .
Müßte so stimmen.

Etwas anderes wäre es, wenn auf der rechten Seite der
Ungleichungskette etwas Negatives stehen würde. Dann
hättest du ein Problem mit dem Kehrwert.

- 1/8 > - 1/x > -1/4
Kehrwert
- 8 < - x < -4
Macht offensichtlich kein Problem
(  z.B. für x = 6 )

Answer 3

Hi, hier könnte auch so gerechnet werden:

Zunächst wird der Betrag aufgelöst. In der entstehenden Verhältnisungleichungskette werden korrespondierend die Zähler von den Nennern subtrahiert, wodurch x nur noch einmal vorkommt. Die jetzt lineare Ungleichungskette ist dann in zwei Schritten gelöst:

$$ \left|\frac{x-1}{x+2}\right|<\frac{1}{2} $$ $$\begin{aligned} \\ -\frac{1}{2} &< \frac{x-1}{x+2} < \frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{3} &< \frac{x-1}{3} < 1 \\\\ -1 &< x-1 < 3 \\\\ 0 &< x < 4. \end{aligned} $$

Comments

zur Information : dein Lösungsweg wurde
in der anderen Antwort im 3.Kommentar von
hj215 bereits vorgeführt.

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@Georg: Das ist nicht derselbe Lösugsweg, eigentlich ist nur der allererste Schritt identisch. Zudem ist mein hier beschrittener Weg etwas kürzer. Außerdem war es Gast hj214:

https://www.mathelounge.de/156484/betragsungleichung-mit-bruch-x-1-2-x-1-2?show=156524#c156524

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die ersten beiden zeilen sind identisch und
die letzte ( vorletzte ).
In der Umformung von der 2.Zeile auf die 3.Zeile
erschienen mir mehrere Umformungsschritte
zusammengepackt.
Ich wäre interessiert an diesem Umformungsschritt.

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Zudem ist mein hier beschrittener Weg etwas kürzer.

Er wird aber vielleicht länger, wenn Begründungen für die Validität der Umformung verlangt werden.

Immerhin ist die korrespondierende Subtraktion sicherlich keine Äquivalenzumformung bei Ungleichungen, denn die linke Ungleichung der zweiten Zeile ist für  x = -3  richtig, während sie in der dritten Zeile falsch ist. Warum die Umformung allerdings zusammen mit der rechten Ungleichung zulässig ist, sehe ich bei dem von mir vorgeschlagenen Weg schneller ein.