Betragsungleichung mit Bruch

Question

ich versuche gerade diese Betragsungleichung zu lösen aber habe Schwierigkeiten beim Aufstellen der Fallunterscheidungen... kann mir jmd. einen Tipp geben wie ich da am besten vorgehen kann u. wie das bei dieser Aufgabe aussieht?

   1                          1
_______  > ____________

|x + 2|                 1+|x-1|

Ich versuche mal meinen Gedankengang zu formulieren:

1. Bestimmung des Df = R \ {-2} 

2. |x+2| ist ein Betrag, daher muss ich prüfen x+2 >= 0 und  x+2 < 0... da dieser hier aber im Nenner steht,
    darf es nicht 0 werden, also gilt hier x+2 > 0 und x+2 < 0

3. Nun der problematische Teil :D
   bei 1+|x-1| bin ich mir nicht sicher wie man das formulieren soll (die 1+ irritiert mich nun)...

    ich habe es nun  folgend gemacht, da es wieder im Nenner steht habe ich 1+x-1 > 0 und 1+x-1 < 0
    als Bedingungen gewählt

Also folgend:

Fall 1: x > -2 UND x > 0 => (0, +∞)
Fall 2: x > -2 UND x < 0 => (-2, 0)
Fall 3: x < -2 UND x > 0 => ∅
Fall 4: x < -2 UND x < 0 => (-∞, -2)

Aber beim Rechnen kam dann nur Mist raus... :/

Lösung soll sein: (-∞,0) \ {-2}

Comments

vielen dank an euch für die tolle hilfe. :)

das mit der umformung zur bruchlosen form finde ich sehr gut, ich bin mir bei solchen aufgaben aber nie so 100%ig sicher ob ich das zu anfang schon machen darf, ohne das ich gezeigt habe das die werte immer positiv sind.

---

das mit der umformung zur bruchlosen form finde ich sehr gut,

Dies war in dieser Aufgabe so. Du mußt schon zeigen ob du einen
solchen Rechenschritt durchführen darfst.
Da beide Nenner im Def-Bereich stets positiv waren war dies
möglich.

Answer 1

Betragsgleichungen oder Ungleichungen können sehr verwirren.
Am besten man hat ein festes Schema.
Bei deinem Beispiel habe ich zunächst vereinfacht :
da der Nenner der beiden Brüche stets positiv ist habe ich
umgekehrt zu : | x + 2 |  < 1 + | x - 1 |
Sieht doch schon einmal einfacher aus.
Es gilt nun die Nullstellen der Beträge herauszufinden.
Unten auf der eingescannten Lösung siehst du :
1.)Bereich x < -2
2.Bereich -2 < x < 1
3.Bereich x > 1


Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

mfg Georg

Answer 2

Für den Definitionsbereich hattest du schon einen guten Anfang.

Sollte der Rest für den 2. Nenner auch noch zur Festlegung des

Definitionsbereiches dienen ?

Dann ist es ganz einfach:

Der 2. Nenner wird nie Null, da |x-1| nie negativ, also

1+|x+1| immer größer gleich 1 ist, kann der 2. Nenner nie Null werden.

Du kannst also für x aus dem von dir festgestellten Definitionsbereich einfach

mit den Nennern malnehmen (die sind jeden falls nie negativ ( also braucht auch

das Vergleichszeichen nie umgedreht zu werden) und hast dann die

Ungleichung, die Georg schon so schön gelöst hat.

Alternativ kannst du auch die beiden Graphen von

f(x)=|x+2|

ung g(x)=|x-1|+1

zeichnen, dann siehst du auch sofort, dass

fx)<g(x) nur für x<0 gilt und -2 ist natürlich ausgeschlossen

wegen des Definitionsbereiches.

Answer 3

1/|x + 2| > 1/(1 + |x - 1|)

Fallunterscheidungen

x = -1 und x = 1

Fall1: x < -2

1/(-(x + 2)) > 1/(1 - (x - 1))

x < -2 oder x > 2

Fall 2: -2 < x ≤ 1

1/(x + 2) > 1/(1 - (x - 1))

-2 < x < 0 oder x > 2

Fall 3: x ≥ 1

1/(x + 2) > 1/(1 + (x - 1))

-2 < x < 0

Zusamenfassung der Lösungen

L = (-∞; 0) \ {-2}

Comments

die lösung versteh ich nicht. beim ersten fall zb kommt sowas raus:

Fall 1: x < -2

1/(-(x + 2)) > 1/(1 - (x - 1)) 

=> -1 > x+2 / x-2
=> -(-x+2) > x+2
=> x - 2 > x + 2
=> -2 > 2

Bekomme überall solche Widersprüche raus? :(

Answer 4

Die Fallunterscheidung für den rechten Betrag ist nicht richtig.
Unterscheide nach dem Vorzeichen des Betragsarguments:
x-1 ≥ 0   oder   x-1 < 0.

Comments

Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können wir die Brüche durch Überkreuzmultiplikation oder Stürzen (Kehrwertbildung) loswerden. Danach sind immer noch beide Seiten positiv und daher ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und wir können so einen der Beträge auflösen. Wird nun nach dem noch verbleibenden Betrag aufgelöst, zeigt es sich, dass bei der dann noch notwendigen Fallunterscheidung nur ein Fall verfolgt werden muss (drittletzte Zeile unten) und nicht zwei. Die Ungleichung kann daher auch so behandelt werden:
$$ \frac { 1 }{ \left| x+2 \right| } > \frac { 1 }{ 1+\left| x-1 \right| } \\\,\\ \Leftrightarrow\quad 1+\left| x-1 \right| > \left| x+2 \right|\quad\land\quad x\ne-2 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad \left(1+\left| x-1 \right|\right)^2 > \left| x+2 \right|^2 \quad\land\quad x\ne-2 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad 1+2\cdot\left| x-1 \right|+x^2-2x+1 > x^2+4x+4 \quad\land\quad x\ne-2 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad 2\cdot\left| x-1 \right| > 6x+2 \quad\land\quad x\ne-2 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad \left| x-1 \right| > 3x+1 \quad\land\quad x\ne2 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad 1-x > 3x+1 \quad\land\quad x<1 \quad\land\quad x\ne2 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad 0 > 4x \quad\land\quad x<1 \quad\land\quad x\ne-2 \\\,\\ \Leftrightarrow\quad x < 0 \quad\land\quad x\ne-2. $$