Lösen Sie die Gleichung mittels Polynomdivision

Question

kann jemand die folgende Gleichung dritten gerades mittels Polynomdivision lösen?

x³-6x²+3x+10=0

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

Comments

Erste Nullstelle raten.z.B.  x = -1

x^3-6x^2+3x+10 : (x+1) = ...

Answer 1

zuerst musst du ein paar X-werte ausprobieren, am besten im bereich -5 bis 5, da dort meistens eine nullstelle "vorgegeben" ist bzw. sich dort befindet.
wenn du die erste nullstelle gefunden hast musst du folgendermaßen vorgehen:
nullstelle positiv: (x-3)
nullstelle negativ: (x+3)
diese werte sind zufällig ausgesucht worden sie haben nichts mit der lösung zu tun.
also das bedeutet, wenn du eine positive nullstelle hast, dass du sie, in dem Linearfaktor den du abspalten willst, subtrahieren musst. Ist sie negativ musst du sie im Linearfaktor addieren.
danach kannst du die Polynomdivion durchführen, achte darauf, dass du immer die klammern setzt und die vorzeichen richtig beachtest, hatte damals am anfang damit nämlich meine probleme und die klammern zu setzen ist echt SEHR hilfreich finde ich.

Answer 2

Bei einer Gleichung

x³ - 6x² + 3x + 10 = 0

können ganzzahlige Nullstellen nur Teiler von 10 sein. Also 1, 2, 5 und 10. Und diese sowohl im positiven als auch negativen Bereich. Taschenrechner können hier eventuell eine Wertetabelle von -10 bis 10 machen.

[-10, -1620;
-9, -1232;
-8, -910;
-7, -648;
-6, -440;
-5, -280;
-4, -162;
-3, -80;
-2, -28;
-1, 0;
0, 10;
1, 8;
2, 0;
3, -8;
4, -10;
5, 0;
6, 28;
7, 80;
8, 162;
9, 280;
10, 440]

Man erkennt 3 Nullstellen von -1, 2 und 5. Damit hat man bereits alle Nullstellen gefunden und man bräuchte keine Polynomdivision mehr machen. Wir können der Formhalber aber noch durch 2 Nullstellen eine Division machen um so die dritte Nullstelle zu erhalten.

(x^3 - 6·x^2 + 3·x + 10) / (x + 1) = x^2 - 7·x + 10

(x^2 - 7·x + 10) / (x - 2) = x - 5

Damit sind die drei Nullstellen auch durch Polynomdivision bestätigt.