Kurvendiskussion. Wendepunkte der Funktionenschar fb(x)=2x^3-3bx^2+b^3?

Question

Wendepunkt bestimen:fb(x)=2x^3-3bx^2+b^3

Answer 1

fk(x)=2x³-3bx²+b³

Für die Berechnung eines Wendepunkts brauchst du die 2. und 3. Ableitung der Funktion:

f_k'(x) = 6x² - 6bx

f_k''(x) = 12x - 6b

f_k'''(x) = 12

1) notwendige Bedingung: f_k''(x) = 0

f_k''(x) = 12x - 6b

12x - 6b = 0 /+6b

12x = 6b /÷12

x = 1/2 b = b/2

2) hinreichende Bedingung: f_k''(x) = 0 und f_k'''(x) ≠ 0

f_k'''(x) ≠ 0

f_k'''(b/2) = 12 ≠ 0 ; 12 > 0 → Rechts-Links-Wendepunkt bei x = b/2

W(b/2 I f(b/2))

Nun setzt du b/2 in f_k(x) ein

So bekommst du b³/2 als Ergebnis

→ W(b/2 I b³/2)

Answer 2

f(x) = 2·x^3 - 3·b·x^2 + b^3

f'(x) = 6·x^2 - 6·b·x

f''(x) = 12·x - 6·b = 0

x = b/2

f'''(x) = 12 <> 0

f(b/2) = b^3/2

Wendepunkt W(b/2 | b^3/2)