Wie kann ich beweisen, dass das Dreieck mit Ecken in Kreismittelpunkten gleichschenklig ist? vgl. Skizze.

Question

ich hätte auch eine Frage. Ich soll nämlich beweisen, dass das Dreieck M1M2C gleichschenklig ist, wenn gilt:

1. der Winkel CBA ist ein rechter Winkel

2. M1 ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC mit Radius r1

3. M2 ist der Mittelpunkt des Ankreises des Dreiecks ABC an BC mit Radius r2.

 

Außerdem soll ich auch noch beweisen, dass die Strecke BC die Länge r1+r2 hat. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte, ich komm nämlich echt nicht drauf, wie das gehn soll... Danke schonmal

PS: Die Zeichnung ist nicht so exakt, aber ihr wisst ja hoffentlich trotzdem wie's gemeint ist ;)                                                                                               

Comments

Einen Anfang hätte ich dazu:

Du kannst beweisen, dass der Winkel bei M1 45 Grad beträgt:

α + γ = 90°

M1 ist der Winkelhalbierendenschnittpunkt.

Jetzt das Dreick M1 - C und mit der Teilstrecke CB betrachten:

Die Winkel sind:

Links von C: 180 - (90-α/2)= 90 + α/2

bei C: γ/2

Folglich ist der Winkel bei M1: 180 -90 -α/2 - γ/2 = 90 - 90/2 =45°
 

Falls Du zeigen kannst, dass der Winkel bei M2 ebenfalls 45° beträgt ist es bewiesen.

---

Vielleicht gibt es eine Lösung mit Hilfe der Strahelsätze unf Pythagoras!

---

Hä? Ich kann grade nicht auf die Kommis antworten, habs schon dreimal probiert.

 
1. Strahlsätze und Pythagoras haben wir in der Schule noch nicht gemacht.. also weiß ich nicht ob das damit gehen würde, aber..

2. ..Capricorn hat ja beschrieben, wie man beweist, dass der Winkel bei M1 45° hat. Außerdem kann man ja beweisen, dass der Winkel C 90° haben muss, denn die Schenkel von Winkel C sind ja Winkelhalbierende von zwei Winkeln, die sich zu 180° ergänzen. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck muss M2 also auch 45° haben, also ist bewiesen, dass das Dreieck gleichschenklig ist  :)

3. Weiß noch jemand was zu dem zweiten Teil der Aufgabe?

("Außerdem soll ich auch noch beweisen, dass die Strecke BC die Länge r1+r2 hat.")

Answer 1

a = B C, b = A C, c = A B

Den Lotfußpunkt von M1 auf a bezeichne ich als A1, den von M1 auf b als B1, den von M1 auf c als C1.
A C1 = c1, C1 B = c2;     [1]  c1+c2 = c
A B1 = b1, B1 C = b2;     [2]  b1+b2 = b
B A1 = a1, A1 C = a2;     [3]  a1+a2 = a

Es gilt außerdem: [4]  b2=a2, a1=c2, c1=b1. Das lässt sich an den Dreiecken M1 C B1 und M1 A1 C zeigen, sie stimmen in den Winkeln M1 C1 A und A1 C M1 (aus Winkelhalbierende) sowie M1 A1 C und C B1 M1 (aus Lot von M1 auf die jeweilige Seite) überein. Beiden ist die Seite M1 C gemeinsam, M1 B1 = r1 und M1 A1 = r1 sind gleich lang. Bei den anderen Dreiecken verhält es sich ähnlich.

Für die Fläche im großen Dreieck ABC gilt dann: [5]  A = r1*b2 + r1*a1 + r1*b1 = r1*(b1+b2+a1). Weil M1 A1 C, M1 C B1, usw. rechtwinklige Dreiecke sind (aus Lot von M1 auf die jeweilige Seite), gilt für die Flächenberechnung der Dreiecke und wegen [4]:   M1A1 * A1C * 1/2= 1/2 * r1*a2 = 1/2 * r1*b2. Da jede Dreiecksfläche zweimal vorhanden ist folgt [5].

Mit [1], [2], [3] lässt sich [5] als A = r1 * (a+b+c)/2 schreiben. Da auch a auf c senkrecht steht gilt: (1/2)*a*c = A = r1*(a+b+c)/2. Für r1 folgt r1 = (a*c)/(a+b+c).

Mit Hilfe des Strahlensatzes findet man heraus: r1/r2 = (c-r1)/(c+r2). r2 = (c*r1)/(c-2*r1) = (a*c)/(b+c-a).

r1+r2 = (a*c)/(a+b+c) + (a*c)/(b+c-a) Brüche erweitern und mit a^2+c^2-b^2=0 (Pythagoras). (a*c)*(a-b+c)/((a+b+c)*(a-b+c)) = 1/2 * (a-b+c) und (a*c)*(c-a-b)/((b+c-a)*(c-a-b)) = -1/2 * (c-a-b). Dann ist r1+r2=a. a=BC.

 

Hab leider keine leichtere Herleitung gefunden. Es gibt aber sicherlich eine einfachere. Wenn Du die Lösung hast, dann poste doch bitte Deinen Lösungsweg.