Bestimmen Sie sämtliche reellen Fourierkoeffizienten

Question

Aufgabe 1.4:

Bestimmen Sie sämtliche reellen Fourierkoeffizienten von \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=3+2 \sin (10 \mathrm{x})-\cos (20 \mathrm{x}) \), wenn \( \mathrm{f} \) betrachtet wird

(a) als \( 2 \pi \)-periodisch,

(b) als \( \pi \)-periodisch,

(c) mit kleinstmöglicher Periode.

Aufgabe 1.5:

Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe

(a) der \( 2 \pi \)-periodischen Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \) für \( -\pi<\mathrm{x} \leqslant \pi \)

(b) der \( 2 \pi \)-periodischen Funktion aus Aufgabe 1.1.

Ansatz:

Ich weiß wohl, wie man ak und bk bestimmt. Mit der Integralformel. Doch ich kann den Variablen keinen bestimmten Wert zuordnen, sodass ich rechnen kann.

Answer 1

Hallo
zu Aufgabe 1.5a)

a0 = 1/pi ∫ (-pi; +pi) e^t dt = 1/pi [e^t] (-pi; +pi) = 1/pi (e^pi -e^-pi)
a0/2 = 1/pi ∫ (-pi; +pi) e^t dt = 1/2/pi (e^pi -e^-pi)
partielle Integration ∫ v du dt = [v u] - ∫ u dv dt
an = 1/pi ∫ (-pi; +pi) e^t * cos nt dt = 1/pi [ e^t * (sin nt)/n - ∫ (sin nt)/n*e^t ] (-pi; +pi) = [An] (-pi; +pi)
bn = 1/pi ∫ (-pi; +pi) e^t * sin nt dt = 1/pi [ e^t * (-cos nt)/n - ∫ (-cos nt)/n*e^t ] (-pi; +pi) = [Bn] (-pi; +pi)
n*An*pi = n * ∫ (-pi; +pi) e^t *cos nt dt = 1e^t * sin nt -  ∫ (-pi; +pi) e^t  * (sin nt) = e^t  * sin nt  - Bn*pi
= e^t * sin nt  -1/n e^t * (-cos nt)  +1/n ∫ e^t *(-cos nt) ]
n^2*An*pi = e^t * (n*sin nt +cos nt) - An * pi
(n^2 +1)*An*pi = e^t * (n * sin nt +cos nt)
An = 1 / pi / (n^2 +1) *  e^t * (cos nt + n * sin nt)
an = [An] (-pi; +pi) = 1 / pi / (n^2 +1) *  [e^t * (cos nt + n * sin nt) ] (-pi; +pi)
an = 1 / pi / (n^2 +1) * (e^pi *(cos npi + n* sin npi ) -e^-pi*(cos -npi    + n * sin -npi))
n mod 2 = 1 => an = 1 / pi / (n^2 +1) * (e^pi *(-1 + 0) -e^-pi*(-1    - 0)) = - 1 / pi / (n^2 +1) *(e^pi -e^-pi)
n mod 2= 0 => an = 1 / pi / (n^2 +1) * (e^pi *(1 +0 ) -e^-pi*(1 - 0) = +1 / pi / (n^2 +1) * (e^pi -e^-pi)

n*Bn*pi = ∫ (-pi; +pi) e^t * sin nt dt = [e^t * (-cos) nt/n - ∫ e^t (-cos nt)/n  = - e^t * cos nt  +An*pi
= [- e^t * cos nt  +1/n * e^t * sin nt - 1/n ∫ e^t *(sin nt) dt] =  e^t * (1/n*sint nt - cos nt) - 1/n*Bn*pi
n^2*Bn*pi = [e^t * (sin nt - n * cos nt)]  -Bn*pi
(n^2 +1)*Bn*pi = e^t  * (sin nt - n * cos nt) ]
Bn = 1  / pi / (n^2 +1) * e^t (sin nt - n * cos nt)
bn = [Bn] (-pi; +pi) = 1  / pi / (n^2 +1) * [ e^t (sin nt - n * cos nt) ] (-pi; +pi)
an = 1 / pi / (n^2 +1) * (e^pi *(sin npi - n* cos npi ) -e^-pi*(sin -npi   -n * cos -npi))
n mod 2= 1 => bn = 1 / pi / (n^2 +1) * (e^pi*(0 -n*(-1)) -e^-pi*(-0 -n*(-1))) = 1 / pi / (n^2 +1) *(e^pi*n -n*e^-pi)
                           bn = + n / (n^2 +1) / pi *(e^pi  -e^-pi)
n mod 2= 0 => bn = 1 / pi / (n^2 +1) * (e^pi*(0 -n*1) -e^-pi*(-0 -n*1)) = 1/ pi / (n^2 +1)*(- n*e^pi -+n*e^-pi)
                           bn = - n / (n^2 +1) / pi * (e^pi  -e^-pi)

f(x) = 1/pi*(e^pi -e^-pi)*(1/2  -1/2cosx +1/2sinx  +1/5cos2x -2/5sin2x  -1/10cos3x +3/10sin3x +- ....)