$$ \vec P = \left(\begin{matrix} -4\\2\\-2 \end{matrix}\right) $$
$$ \vec Q = \left(\begin{matrix} -6\\-2\\2 \end{matrix}\right)$$
$$ \vec R = \left(\begin{matrix} -1\\8\\-8 \end{matrix}\right) $$
Die gewünschte Methode ist festzustellen, ob die Punkte auf einer Geradengleichung liegen. Dazu wählt man beliebige zwei der drei Punkte aus und bildet aus ihnen die Geradengleichung wie folgt:
$$\vec G= \vec P +k \cdot \vec Q $$
$$\vec G= \left(\begin{matrix} -4\\2\\-2 \end{matrix}\right) +k \cdot \left(\begin{matrix} -6\\-2\\2 \end{matrix}\right) $$
Nun prüft man, ob es ein $$k \in \mathbb{R} $$ gibt, für das gilt:
$$\vec G = \vec R $$
in Worten: liegt der Punkt R auf der Geraden, die von P und Q gebildet wurde?
und setzen in die Geradengleichung den Punkt R auf der Lösungsseite ein:
$$\left(\begin{matrix} -1\\8\\-8 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -4\\2\\-2 \end{matrix}\right) +k \cdot \left(\begin{matrix} -6\\-2\\2 \end{matrix}\right) $$
Es sind nun die Gleichungen für jede Dimension zu lösen:
$$ -1=-4 +k \cdot (-6)$$
$$ 8=2 +k \cdot (-2)$$
$$ -8=-2 +k \cdot (2)$$
Fortsetzung folgt nach Rückmeldung des Fragestellers , der bitte k dann schon ausgerechnet hat!
