Hi,
noch was aus dem Jahre 2013, mal schauen ob sich einer dafür noch interessiert.
Wähle eine Basis des Vektorunterraumes \( U \) z.B. \( u_1, \cdots , u_k \)
dann kann man diese Basis zu einer Basis des Vektorraums \( V \) ergänzen \( u_1, \cdots , u_k, u_{k+1}, \cdots , u_n \)
D.h. man kann \( v \) darstellen als \( v = \sum_{i=1}^n \beta_i u_i \) Der zu bestimmende Vektor \( u \in U \) hat eine Darstellung der Form \( u = \sum_{i=1}^k \alpha_i u_i \)
D.h. man bestimmt \( u \) durch die Gleichung
$$ < \sum_{i=1}^n \beta_i u_i - \sum_{i=1}^k \alpha_i u_i , u_j > = 0 $$ mit \( < , > \) ist das Skalarprodukt gemeint. Das bedeutet es gilt
$$ \sum_{i=1}^k \left( \beta_i - \alpha_i \right) < u_i,u_j > = -\sum_{i=k+1}^n \beta_i < u_i,u_j > $$ für \( j = 1, \cdots , k \)
Das ist aber ein lineares Gleichungssystem der Form $$ A(\beta - \alpha) = b $$ mit \( A_{ij} = < u_i, u_j > \) und \( A \) ist die Gramsche Matrix. Diese ist invertierbar, deshalb gilt
$$ \alpha = \beta -A^{-1}b $$ Damit ist die existenz von \( \alpha \) und die Eindeutigkeit bewiesen.
