Abstände windschiefe Geraden

Question

Habe bei der folgenden Aufgabe große Schwierigkeiten:

Der Ursprung eines Koordinatensystems mit der Längeneinheit 1m liegt in der linken unteren Ecke des Zimmers aus Fig1.
Auf einer Höhe von 1,55 m verläuft in der Hinterwand in 5cm Tiefe eine Wasserleitung mit einem Durchmesser von 1,5cm. Ein Heimwerker bohrt mit einem 6-mm-Bohrer ein Loch längs der Geraden g: X= (0|2|1,53)+ t* (-10|-1|1).
Untersuchen Sie, ob der Bohrer die Wasserleitung beschädigen kann.

Fig.1 :

Ich denke, dass man vielleicht eine Gerade h aus der "Rohrlinie" machen könnte und dann den Abstand zwischen g und h ermitteln. Kann das sein?

Vielen Dank schon mal

Answer 1

Ja, richtig. Du kannst eine Geradengleichung des Rohrs aufstellen, die Angaben hast du ja im Text gegeben.
Untersuche dann, ob sich beide Geraden direkt schneiden, wenn nicht sind sie windschief.
Der Abstand der beiden Geraden zueinander ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Geraden steht.
Von deiner Geraden g kommst du über deinen senkrechten Vektor auf die Gerade des Rohrs.
Dazu kannst du eine Gleichung aufstellen.

Answer 2

Du solltest die Gerde die die Mitte des Rohres festlegt beschreiben

X = [-0.0575, 0, 1.55] + r * [0, 1, 0]

Die andere Gerade war gegeben

X = [0, 2, 1.53] + s * [-10, -1, 1]

Wir hängen einen richtungsvektor um und machen einen Punkt und eine ebene.

X = [-0.0575, 0, 1.55] + r * [0, 1, 0] + s * [-10, -1, 1]

N = [0, 1, 0] ⨯ [-10, -1, 1] = [1, 0, 10]

E: x + 10z = [-0.0575, 0, 1.55] * [1, 0, 10] = 15.4425

Wir machen daraus die Abstandsformel

d = (x + 10z - 15.4425) / √(1^2 + 10^2)

Und setzten den Punkt ein

d = (0 + 10*1.53 - 15.4425) / √(1^2 + 10^2) = -0.01417927996

Der Abstand sollte mind. 0.0075 + 0.006 = 0.0135 betragen. Rein rechnerisch sollte das klappen. Der Sicherheitsabstand wär aber nicht mal 1 mm. Also würde ich vom Bohren abraten. Es wäre eine frage ob ich die Rohrleitung richtig modelliert habe. Dazu fehlen aber genauere angaben, Wie gemessen worden ist.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Leider hab ich noch nicht verstanden wie man bei h auf die -0,0575 kommt?

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Naja. Ich denke die Rohrleitung befindet sind 5 cm hinter der Wand. Das wären 0.05 m. Dazu kommt der Radius von 0.75 cm = 0.0075 m. Macht zusammen 0.0575.

Die 5 cm konnten aber auch schon den Abstand der Mitte des Rohres beschreiben. Die Grafik dazu sieht eher so aus als sollte es die vordere Rohseite beschreiben.

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Achso Klar! Das ist logisch! Danke nochmal!