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(Tautologien) Seien p, q, r Aussagen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen, unabhängig

von den Wahrheitswerten von p, q und r, stets wahr sind:

(a) (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q (Gesetz zum modus ponens),

(b) (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) (Gesetz der Kontraposition),

(c) (p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (Distributivgesetze).

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1 Antwort

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Aus Wahrheitstabelle:
a ⇒ b = ¬a + b
a ⇔ b = ¬a¬b + ab

Ich schreibe "und" als *, "oder" als +


$$a)(p(p\Rightarrow q))\Rightarrow q\\ p(\overline { p } +q)\Rightarrow q\\ p\overline { p } +pq\Rightarrow q\\ pq\Rightarrow q\\ \overline { pq } +q\\ \overline { p } +\overline { q } +q\\ \overline { p } +1\\ \\1$$


$$\\b)\left( p\Rightarrow q \right) \Leftrightarrow \left( \overline { q } \Rightarrow \overline { p }  \right) \\ (\overline { p } +q)\Leftrightarrow (q+\overline { p } )\\ \overline { (\overline { p } +q) } (\overline { q+\overline { p) } ) } +(\overline { p } +q)(q+\overline { p } )\\ \overline { \overline { p }  } \overline { q } \overline { q } \overline { \overline { p }  } +\overline { p } q+\overline { p } \overline { p } +qq+q\overline { p } \\ p\overline { q } +\overline { p } +q\\ \overline { q } +q\\ \\ 1$$


$$\\c)(p+qr)\Leftrightarrow (p+q)(p+r)\\ \overline { (p+qr) } *\overline { (p+q)(p+r) } +(p+qr)(p+q)(p+r)\\ \left( \overline { p } \overline { qr }  \right) (\overline { p+q } +\overline { p+r } )+(pp+pq+pqr+qqr)(p+r)\\ \overline { p } (\overline { q } +\overline { r } )(\overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } )+(p+qr)(p+r)\\ (\overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } )(\overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } )+pp+pr+pqr+qrr\\ \overline { p } \overline { q } \overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { q } \overline { p } \overline { r } +\overline { p } \overline { r } \overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } \overline { p } \overline { r } +p+qr\\ \overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } +p+qr\\ \overline { q } +\overline { r } +p+qr\\ \overline { q } +p+q\\ 1+p\\ 1$$

Avatar von 1,1 k

bei der c) kann man auch zuerst die rechte Seite vereinfachen, dann wird das Ganze nicht ganz so lang zwischendurch. Kannst du ja mal selbst machen. Kommt das selbe heraus.

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