Eine e Frage zu Tautologien !

Question

(Tautologien) Seien p, q, r Aussagen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen, unabhängig

von den Wahrheitswerten von p, q und r, stets wahr sind:

(a) (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q (Gesetz zum modus ponens),

(b) (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) (Gesetz der Kontraposition),

(c) (p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) (Distributivgesetze).

Answer 1

Aus Wahrheitstabelle:
a ⇒ b = ¬a + b
a ⇔ b = ¬a¬b + ab

Ich schreibe "und" als *, "oder" als +

$$a)(p(p\Rightarrow q))\Rightarrow q\\ p(\overline { p } +q)\Rightarrow q\\ p\overline { p } +pq\Rightarrow q\\ pq\Rightarrow q\\ \overline { pq } +q\\ \overline { p } +\overline { q } +q\\ \overline { p } +1\\ \\1$$

$$\\b)\left( p\Rightarrow q \right) \Leftrightarrow \left( \overline { q } \Rightarrow \overline { p }  \right) \\ (\overline { p } +q)\Leftrightarrow (q+\overline { p } )\\ \overline { (\overline { p } +q) } (\overline { q+\overline { p) } ) } +(\overline { p } +q)(q+\overline { p } )\\ \overline { \overline { p }  } \overline { q } \overline { q } \overline { \overline { p }  } +\overline { p } q+\overline { p } \overline { p } +qq+q\overline { p } \\ p\overline { q } +\overline { p } +q\\ \overline { q } +q\\ \\ 1$$

$$\\c)(p+qr)\Leftrightarrow (p+q)(p+r)\\ \overline { (p+qr) } *\overline { (p+q)(p+r) } +(p+qr)(p+q)(p+r)\\ \left( \overline { p } \overline { qr }  \right) (\overline { p+q } +\overline { p+r } )+(pp+pq+pqr+qqr)(p+r)\\ \overline { p } (\overline { q } +\overline { r } )(\overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } )+(p+qr)(p+r)\\ (\overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } )(\overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } )+pp+pr+pqr+qrr\\ \overline { p } \overline { q } \overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { q } \overline { p } \overline { r } +\overline { p } \overline { r } \overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } \overline { p } \overline { r } +p+qr\\ \overline { p } \overline { q } +\overline { p } \overline { r } +p+qr\\ \overline { q } +\overline { r } +p+qr\\ \overline { q } +p+q\\ 1+p\\ 1$$

Comments

bei der c) kann man auch zuerst die rechte Seite vereinfachen, dann wird das Ganze nicht ganz so lang zwischendurch. Kannst du ja mal selbst machen. Kommt das selbe heraus.