Kosten u. Preistheorie

Question

Hey hab hier eine Aufgabe die mich ziemlich auf die Folter spannt, wär supper wenn mir jemand helfen könnte! Vielen Dank schonmal

Von einem Monopolbetrieb ist die Gesamtkostenfunktion K(x)=0,002x³-0,39x²+22x+2200. Weiters wurde die lineare Nachfragefunktion p(x)=150-0,01x ermittelt.
Berechnen Sie
a. die langfristige Preisuntergrenze (=Preis zum Grenzbetrieb)
b. die Gewinnzone, den maximalen Gewinn und die Koordinaten des Cournot´schen Punktes.
c. die Kostenkehre

Comments

Bin kein Kaufmann deshalb frage ich nach um das Ganze mathematisch
in den Griff zu kriegen.

Gesamtkostenfunktion K(x) = 0.002x³-0,39x²+22x+2200
x : Preis pro Stück ?

lineare Nachfragefunktion p(x)=150-0,01x ermittelt.

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ja genau, x = preis pro stück

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Dann gilt also für Kosten = Erlös

k ( x ) = p ( x ) * x

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Nein glaube ich nicht

x = Anzahl Stück
Kosten für die Herstellung
K(x) = 0.002x³-0,39x²+22x+2200

Preis in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl
p(x)=150-0,01x

Erlös = p ( x ) * x

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a) Ableitung der Durchschittskosten D(x) muss Null ergeben.

D'(x)=0, wobei gilt: D(x) = K(x)/x

b) Gewinnzone: G(x)=0

Dabei gilt: G(x)= E(x)-K(x) und E(x)=p(x)*x

Maximaler Gewinn: Berechne: G'(x)=0 und setze die gefundene x-Stelle in G(x) ein.

c) Kostenkehre = Wendepunkt von K(x)
K''(x)=0

Answer 1

Falls dem so ist

x = Anzahl Stück
Kosten für die Herstellung
K(x) = 0.002x³-0,39x²+22x+2200

Preis in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl
p(x)=150-0,01x

Erlös = p ( x ) * x

x = 360 Stück
K ( x ) = 52.898 €
Preis ( x ) = 146.40 €
Erlös x ) = 52.704 €

Comments

nach Information durch eh659

a. die langfristige Preisuntergrenze (=Preis zum Grenzbetrieb)
K ( x ) = E ( x ) = p ( x ) * x

x = 17 Stück
K ( x ) = 2.471 €
Preis ( x ) = 149.83 €
Erlös ( x ) = 2.547 €

Ab 17 Stück wird Gewinn gemacht.
Ab 360 Stück wird dann wieder Verlust gemacht.
( siehe erste Antwort )

b. die Gewinnzone, den maximalen Gewinn und die
Koordinaten des Cournot´schen Punktes.

Die Gewinnzone liegt zwischen 17 Stück und 360 Stück.

Die Gewinnfunktion ist

G ( x ) = E ( x ) - K ( x )
G ( x ) =  p ( x ) * x   - K ( x )
G ( x ) = ( 150 - 0.01 * x  ) * x - 0.002 * x^3 - 0.39 * x^2 + 22 * x + 2200

Der maximale Gewinn ist der Extrempunkt ( 1.Ableitung = 0 )
G ´( x ) = 0
[ 150 * x - 0.01 * x^2  - 0.002 * x^3 - 0.39 * x^2 + 22 * x + 2200 ] ´ = 0
150 - 0.02 * x - 0.006 * x^2 - 0.78 * x + 22 = 0
x = 223 Stück
G ( 223 ) = 23062 €

Cournotsche Punkt
( 223  | 23062 )

zum Punkt siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Cournotscher_Punkt

c) Kostenkehre = Wendepunkt von K(x)
( siehe Link eh659 )

K ´´ ( x )  = 0
K ( x ) = 0.002 * x^3 - 0.39 * x^2 + 22 * x + 2200
K ´ ( x ) = 0.006 * x^2 - 0.78 * x + 22
K ´´ ( x ) = 0.012 * x - 0.78
0.012 * x - 0.78 = 0
0.012 * x = 0.78
x = 65