(a^n-b^n)/(a-b) berechnen für n ∈ ℕ.

Question

EDIT (lLu) Gemäss Kommentar: Gemeint war:

Wie kann ich

(aⁿ-bⁿ)/(a-b) berechnen für n ∈ ℕ?

Comments

Schon mal in Erwägung gezogen, die VOLLSTÄNDIGE AUFGABENSTELLUNG mitzuteilen?

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aⁿ-bⁿ/a-b (minus war falsch) Das ist die vollständige Aufgabe

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Ok, dann stelle ein Foto ein!

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Hier das Foto

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Hi, das ist doch etwas ganz anderes als vorher: nicht n soll berechnet werden, sondern der angegebene Term! Erledigen kannst Du die Aufgabe durch eine Polynimdivision. Ist Dir das für beliebiges n zu kompliziert, versuche es mal mit einigen komkreten kleinen n, etwa n=1, n= 2, n= 4, ...

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danke für die schnelle Antwort. Die Polynomdivision kenne ich, aber ich verstehe nicht wie ich sie in diesem beispiel anwenden soll

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Einfach herunterrechnen und gucken, was rauskommt.

Answer 1

(aⁿ-bⁿ)/(a-b) berechnen für n ∈ ℕ.

n=1

(a-b)/(a-b) = 1         | Hier kannst du nicht kürzen.

n=2

(a^2 - b^2)/(a-b) = a+b

n=3

(a^3  - b^3) : (a-b) = a^2 + ab + b^2

-(a^3 - a^2 b)

------------------

a^2 b

-(a^2 b - ab^2)

-------------------

ab^2

-(ab^2 - b^3)

---------------------

0

usw. z.B. damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28a%5E4+-+b%5E4%29%2F%28a-b%29 Drücke bei "alternate forms" auf "more forms".

Allgemein:

(aⁿ-bⁿ)/(a-b) = a^{n-1} + a^{n-2} b + a^{n-3} b^2 +..... + b^{n-1}

Grobe Kontrolle

(a^{n-1} + a^{n-2} b + a^{n-3} b^2 +..... + b^{n-1})*(a-b) =

a^{n} + a^{n-1} b + a^{n-2} b^2 -+..... + ab^{n-1}

-(           a^{n-1} b + a^{n-2} b^2 + a^{n-3} b^3 + .....  +b^{n})

--------------------------------------------------------------------------------------------

= a^n - b^n

Besser wäre für die Verallgemeinerung ein Induktionsbeweis.