log x > log y für x>y>0

Question

Wie beweise ich obenstehende Aussage?  Mein Ansatz wäre:

$$ \quad Seien\quad x,y\quad positive\quad reele\quad Zahlen.\quad Aus\quad log\quad x\quad >\quad log\quad y\quad folgt\quad x\quad >\quad y $$

$$ \quad log\quad x\quad >\quad log\quad y\quad \Leftrightarrow \quad log\quad x\quad -\quad log\quad y\quad =\quad log\quad \frac { x }{ y } \quad >\quad 0\quad \Leftrightarrow \quad { a }^{ log\quad \frac { x }{ y }  }\quad =\quad \frac { x }{ y } \quad >\quad { a }^{ 0 }\quad =\quad 1\quad \Leftrightarrow \quad x\quad >\quad y\\  $$

Comments

Dein Ansatz ist schon der Beweis...

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Okay, vielen Dank. Dachte das würde nicht reichen

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Dein Ansatz ist schon der Beweis.

Nein, das ist er noch nicht.

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Was fehlt denn ?

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Eine Angabe über a

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Daran habe ich überhaupt nicht gedacht . Könnte ich den ganzen Beweis so druchspielen?
$$ Sei\quad a\quad \epsilon \quad R\quad \log _{ a }{ x } >\quad \log _{ a }{ y } ... $$

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Stimmt, bin jetzt davon ausgegangen, dass euer Logarithmus der natürliche ist und du einfach a anstatt e geschrieben hast.

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Es soll bewiesen werden

log_a ( x ) > log_a ( y )  daraus folgt  x > y

Falls eine Funktion monoton steigend ist gilt
x > y  daraus folgt  f (x ) > f ( y )

Wenn also bewiesen ist log_a ist monton steigend
dann ist stimmt die Ausgangsaussage.

z = log_a ( x/y )
a^{z}    ist steigend für a > 1  ( 2^{z} ist steigend )
a^{z}    ist fallend für a < 1  ( 0.5^{z} ist fallend )

Für a > 1 stimmt die Ausgangsaussage
Für a < 1 gilt  log_a ( x ) > log_a ( y )  daraus folgt  x < y

Answer 1

Hier noch ein Beweis über die e-Funktion
Die e Funktion ist monoton steigend

Ist  x > y dann ist auch e^x > e^y
ln ( a ) > ln ( b )
e^{ln[a]} > e^{ln[b]}
a > b

Comments

damit beweist du die Umkehrung der Behauptung

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die Behauptung ist doch
Ist log ( a ) > log ( b ) dann ist a > b

Dasselbe steht bei mir doch auch.

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Die Behauptung in der Überschrift lautet   " x > y > 0  ⇒  log x  >  log y ".  Der Ansatz des Fragestellers geht zwar von  log x  >  log y  aus, aber immerhin werden Doppelpfeile geschrieben.

Die Behauptung der Überschrift ist nichts anderes als das streng monotone Wachsen der Logarithmusfunktion, die wegen (log_a x) '  = (1/x) · ln a  genau für  a > 1  vorliegt.  (Für 0 < a < 1 ist sie monoton fallend, für  a = 1   und für  a ≤ 0  nicht definiert, als Hinweis für den Fragesteller auf seinen zweiten Versuch.)

Allerdings sind in diesem Fall die Behauptung und ihre Umkehrung äquivalent, da eine Funktion genau dann monoton wachsend ist, wenn dies für ihre Umkehrfunktion zutrifft.

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In der Fragestellung ist einem log die Rede.
Ich kenne den Bezeichner für ln oder log₁₀
Einen log_a  sehe ich der Fragestellung nirgendwo.
Die einfachste Begründung für den von mir angenommen Fall ist

Die Funktion ln ist monoton steigend. Ist a > b ist auch log(a) > log(b)

Dein ganzes Geschwafel kannst du dir irgendwo hinstecken. Ich sag dir
bloß nicht wo.

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Es freut mich, dass ich dir helfen konnte, deinen Fehler einzusehen.

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Ich habe deine Einwände als Geschwafel bezeichnet.
Ist dir das zufällig aufgefallen ?

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Ich habe mir den ganzen Briefwechsel nocheinmal angeschaut und
bin zur Überzeugung gekommen das sich ein paar Mißverständnisse
ergeben haben aufgrund unterschiedlicher Definitionen über die
Schreibweise des Logarithmus.

Ich kenne

log_e = ln
log₁₀ = log oder lg
ansonsten die Basis angeben
log_a

Die Aussage log_a ( x ) >  log_a ( y ) ist anders zu behandeln
als log ( x ) > log ( y ) .

Ich empfinde den Fehler nicht bei mir.  Dann sollen die
Bezeichnungen verbindlich normiert werden..

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Es ging mir bei meinem Kommentar zu deiner Antwort auch nicht um die Basis sondern um die Beweisrichtung. Das hast du in deinem letzten Beitrag ja auch korrigiert. Die ganze Diskussion um die Basis ist doch durch die Einführung von "a" in dem allerersten Beitrag des Fragestellers (ob der das hier wohl noch liest ?) entstanden. Hätte er dort die Basis "e" verwendet, hätte ich überhaupt nicht reagiert.

Und wo ich schon dabei bin noch eine Korrektur :  In meinem Beitrag oben muss es selbstverständlich heißen (log_a x) '  = 1/ (x · ln a) ,  die Argumentation bleibt aber davon unberührt.

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Mir ist es doch wichtig klarzustellen auf welcher Grundlage ich meine
Antworten gegeben habe.

Gerade gestern hatten wir im Faden

https://www.mathelounge.de/163998/geben-sie-fur-%C2%A8-x-%E2%88%88-0-die-l%C2%A8osungen-der-folgenden-gleichung-an?show=164190#c164190

den Fall das ein Beantworter geschrieben hat
logx-1 = 0
logx = 1
x = e^1 = e

In https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#BezeichnungenIn

steht " In theoretischen Abhandlungen steht log oft für den
natürlichen Logarithmus. "

Ich habe meine Antwort für die beiden Fälle log ( als log₁₀ ) oder ln gegeben, welche
monoton steigend sind.  Von daher waren meine Argumentationen nicht verkehrt.