Stammfunktion zu x³+1 / x² -1

Question

Hi 
irgendwie komme ich mit dieser Aufgabe gar nicht klar.Wir sollen die Integranden geeignet Umformen aber irgendwie kriege ich das voll nicht hin.Kann jemand helfen ?


( x³+1) /( x² -1 )

Comments

$$\text{Hi, Tipp: }\frac{x^3+1}{x^2-1}=x+\frac1{x-1}\text{, falls }\vert x\vert\ne1.$$

Answer 1

(x^3 + 1)/(x^2 - 1)

Zunächst Polinomdivision weil der Grad im Zähler > als der Grad im Nenner

(x^3 + 1) : (x^2 - 1) = x + (x + 1)/(x^2 - 1)

Sehen das im Nenner die 3. binomische Formel steht und wir im Zähler einen Teil davon haben

x + (x + 1)/(x^2 - 1) = x + (x + 1)/((x + 1)(x - 1))

x + 1 im Zähler und Nenner kürzen. Den Term an der Stelle x = -1 stetig ergänzen.

x + (x + 1)/((x + 1)(x - 1)) = x + 1/(x - 1)

Jetzt die Stammfuktion bilden

∫ x + 1/(x - 1) dx = 1/2·x^2 + LN(x - 1) + C