Integralrechnung: Fläche zwischen Graph von f(x)= 0,5x^2-3x und x-Achse?

Question

Ich hab hier eine integral aufgabe und hab leider alles vergessen, kann mir deswegen vielleicht einer bei einer Aufgabe weiterhelfen?

Wie groß ist die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt?

a) f(x)= 0,5x²-3x

Answer 1

Hi,

f(x)= 0,5x²-3x

berechne die Nullstellen (Intervallgrenzen)

x₁= 6 und x₂= 0

$$ \int_{0}^{6}0,5x^2-3xdx=[\frac { 1 }{ 6 }x^3-1,5x^2]_0^6=|-18|-0= 18 FE $$

Für mich ist das auch logisch, dass da etwas Negatives raus kommt, denn es muss ja "unter" der x-Achse sein, aslo im Negativen bereich und es schneidet ja auch die x-Achse (Nullstellen).

Also klingt meine Lösung für mich logisch.

Ich hatte das ja noch nie in der Schule, deshalb...

Gruß

Comments

Prima  emre.

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Allgemeiner Hinweis : Flächen sind immer postiv.
Sollte wie hier einmal ein negativer Wert herauskommen
dann ganz einfach in Betragszeichen oder abs ()
setzen.

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Danke für den Hinweis Georg ;)

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Rechnung perfekt.

Aber Betragszeichen nicht ganz am richtigen Ort.

Beende die Zeile mit =-18 -0 und schreibe auf die nächste Zeile ohne Anschluss mit einem Gleich.

Gesuchte Fläche |-18| = 18 FE

Wenn du unbedingt alles in einer Zeile haben möchtest. Musst du im jeden Term ausser der 18 Betragsstriche setzen. Also:

$$|\int_{0}^{6}0,5x^2-3x dx|=|[\frac { 1 }{ 6 }x^3-1,5x^2]_0^6|=|-18-0|= 18 FE$$

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Danke Lu,

sind sie auch so korrekt? :)

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Beachte:

-18 = -18

und |18| = 18 und |-18| = 18

Daher darfst du kein Gleichheitszeichen schreiben zwischen -18 und |18|.

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Ah ok :)

Ja mit der Notation muss ich noch arbeiten. Rechnerisch klappt es ganz gut, aber notationsmäßig (oder wie das auch heißt), naja...

Aber ich kann das jetzt nicht verbessern. Der Fragesteller kann ja die Kommentare lesen :)

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Ich würde die vielen Betragszeichnen nicht von
A  bis Z mitschleppen. Das wirkt mehr verwirrend.

Mach es wie Lu gesagt hat. Rechne das Integral aus
und schreib dann in einer neuen Zeile darunter :

Gesuchte Fläche |-18| = 18 FE

Das ist mathematisch richtig.

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Wichtig ist auch, das du um die Funktion im Integral 0,5x² - 3x eine Klammer setzt, sonst gibt es ein Problem mit dx.

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@mangekyo
Eigentlich nicht. Korrekt ist
∫ 0,5 * x² - 3 * x dx

Das Integralzeichen und dx sind die Begrenzung.
Eine Klammerung ist nicht notwendig.

∫  Term  dx

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Hmm, meine Lehrerin meinte das so zu mir als ich auch keine Klammer gesetzt habe... Naja, ist ja auch egal, jetzt weiß ich wenigstens bescheid, danke

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Ich habe gerade 2 Mathebücher aufgeschlagen und nachgeschaut.
Es wird nichts geklammert.
Todsicher.
Schau einmal in deinem Mathebuch nach.

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Es wäre aber schöner, wenn zwischen 3x und dx noch ein Leerschlag wäre. 3xdx sieht nicht so gut aus.

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Hmm, hab mal in meinem Mathebuch nachgesehen... Klammer wird genutzt

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Im Wikipedia-Artikel zu Integralrechnung fand ich beide
Schreibweisen.

Die Schreibweise ∫ Term dx  als Klammerung ist eindeutig.

Die Schreibweise ∫ ( Term ) dx  ist auch nicht verkehrt.
Auf einer Klammerung zu bestehen ist nicht notwendig.

Spruch des Tages : eine Klammer zuviel ist besser als
eine zuwenig.

Answer 2

f ( x ) = 0,5 * x² - 3 * x
Nullstellen
x * ( 0.5 * x - 3 )
Ein produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
x = 0
0.5*x - 3 = 0
x = 6

Stammfunktion bilden
∫ 0,5 * x² - 3 * x dx
0.5 * x^3 / 3 - 3 * x^2 /2
1/6 * x^3 - 3/2 * x^2
Fläche
[ 1/6 * x^3 - 3/2 * x^2]₀⁶
1/6 * 6^3 - 3/2 * 6^2
36 - 54
| -18 |
18

Answer 3

f(x)= 0,5x²-3x 

Zuerst: Stammfunktion berechnen! Das ist die Aufleitung von f(x):

a/n+1 · xⁿ⁺¹ also: 0,5/3 x³ = 1/6 x³

-3/2 · x¹⁺¹ = - 3/2 x²

Daraus folgt: F(x) = 1/6 x³ - 3/2 x²

Dann musst du die Nullstellen von f(x) berechnen, denn du brauchst für eine Integralrechnung noch die obere bzw. untere Grenze (Intervallgrenze).

0,5x² - 3x = 0 /:0,5

x² - 6x = 0

x (x-6) = 0

x₁ = 0 und x - 6 = 0

x - 6 = 0 /+6

x₂ = 6

Nun folgt:

$$ \int_{0}^{6}(0,5x^2-3x)dx=[\frac { 1 }{ 6 }x^3-1,5x^2]_{0}^{6}=\frac { 1 }{ 6 }\cdot6^3-1,5\cdot6^2-(\frac { 1 }{ 6 }\cdot0^3-1,5\cdot0^2)=|-18|-|0|=|18|FE$$