Potenzgleichung lösen: 2^ (2(x+1))-2^ (x+3)=2^ (x+5)-2^ (2x+4)

Question

Lösen Sie die folgende Gleichung:  2^2(x+1)-2^x+3=2^x+5-2^2x+4

Ich bin zu einer Lösung gekommen, nur weiß ich nicht ob diese stimmt

= $$\frac { 2 }{ { (2x+2) }^{ 2 } } \quad -\quad \frac { 2 }{ { (2x+3) }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { 2 }{ { (2x+5) }^{ 2 } } \quad -\quad \frac { 2 }{ { (2x+4) }^{ 2 } }  $$

== $$ \frac { 2 }{ { (4x }^{ 2 }+4x+4) } -\frac { 2 }{ ({ 4x }^{ 2 }+12x+9) } =\frac { 2 }{ ({ 4x }^{ 2 }+20x+25) } -\frac { 2 }{ ({ 4x }^{ 2 }+16x+16) } $$

=2(4x²+4x+4)-2(4x²+12x+9)=2(4x²+20x+25)-2(4x²+16x+16)

=(8x²+8x+8) - (8x²+24x+18)= (8x²+40x+50) - (  8x²+32x+32)

-16x-10=8x+18

-10=24x+18

-28=24x

-28/24=x

Hab ich das so richtig gemacht ?

Comments

Wenn du nur wissen willst ob du das richtig gemacht hast, mach doch einfach die Probe.

Da die Probe nicht stimmt muss irgendwo ein Fehler sein.

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heraus kommt
x = 1

Fragt sich bloß wie.

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wie kommst du von der Aufgabenstellung auf die 2.Zeile ?

Bzw. darauf den Exponenten als Quadrat in den Nenner zu bringen ?

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Bei Potenzgleichungen gilt eigentlich immer die Basen oder die Exponenten versuchen Gleich zu machen. Hier bringen gleiche Basen nichts, also so versucht ich ich das mit gleichen Exponenten.

Answer 1

2^{2·(x + 1)} - 2^{x + 3} = 2^{x + 5} - 2^{2·x + 4}

4^{x + 1} - 2^{x + 3} = 2^{x + 5} - 4^{x + 2}

4^{x + 1} + 4^{x + 2} = 2^{x + 5} + 2^(x + 3)

4·4^x + 16·4^x = 32·2^x + 8·2^x

20·4^x = 40·2^x

4^x / 2^x = 40/20

2^x = 2

x = 1

Comments

Der Clou bei deiner Antwort ( ebenso wie bei Andreas ) war doch
den Exponentialterm aufzuteilen und  dann als Koeffizient
vorzuziehen
2^{x+1} = 2^x * 2^1 = 2 * 2^x
Andreas Lösung war noch etwas einfacher.
Das sind aber alles nur Kleinigkeiten.

Hier zur Entschädigung noch etwas zur Aufheiterung

  ...eine Anekdote über Albert Einstein ( wenn Sie nicht wahr ist,
dann ist sie gut erfunden )

  Albert Einstein hatte gerade seine spezielle Relativitätstheorie ausgetüftelt und war
erst in Fachkreisen bekannt. Er bekam eine Einladung nach Amerika zu kommen
und dort seine Theorie an Universitäten vorzustellen.

  Albert Einstein nahm das Angebot an, reiste nach Amerika und bekam u.a. einen
jungen Doktoranten als Chauffeur zur Verfügung gestellt um ihn an die verschiedenen
Universitäten zu fahren.

  Nach ein paar Vorträgen sagte der Doktorant zu Einstein : " Herr Einstein, ich habe
jetzt Ihren Vortrag mehrmals gehört und denke das ich die Theorie auch verstanden
habe. Ich könnte die Theorie auch erklären. "

  Einstein war skeptisch. Es wurde aber ein Rollentausch vereinbart. Der Doktorant
sollte den nächsten Vortrag halten, während Einstein sich unter die Zuhörer mischen
würde. Der Vortrag wurde zur Zufriedenheit gehalten, danach konnten die Zuhörer
noch Fragen stellen.

  Eine Frage war besonders kniffelig. Der Doktorant antwortete " Die Frage ist so
einfach " und zeigte auf Einstein " das Sie auch mein Chauffeur beantworten kann ".

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@ georgborn:

Sehr hübsche Anekdote, gefällt mir :-D

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Hmm ich versteh dein Weg nicht ganz :D Wie wurde in der 1. Zeile deiner Rechnung aus der  2^{2·x + 4} , das hier - 4^{x + 2}  kommt da nicht -4^x+2? Und Keine Ahnung wie du das in der 3. Zeile gemacht hast :D Ich bitte um Aufklärung 

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2^{2a} = 2^{a+a} = 2^a * 2^a = ( 2 * 2 )^a = 4^a

2^{2·x + 4}
2^{2x+4} = 2^{2*[x+2]} = 2^{x+2} * 2^{x+2} = 4 ^{x+2}

2. Zeile
4^{x + 1} - 2^{x + 3} = 2^{x + 5} - 4^{x + 2} 
| alles was die Basis 4 hat auf die linke Seite;
alles was die Basis 2 hat auf rechte Seite
4^{x + 1} + 4^{x + 2}  = 2^{x + 5} + 2^{x + 3}
( Die Exponenten scheinen in der Orginal-Antwort etwas verrutscht zu sein )

Answer 2

wenn diese Gleichung gemeint ist

2^2(x+1) - 2^x+3 = 2^x+5 - 2^2x+4

dann sieht die Rechnung wohl etwas anders aus:

2^2x+2 + 2^2x+4 = 2^x+5 + 2^x+3

2^2x * 2² + 2^2x * 2⁴ = 2^x * 2⁵ + 2^x * 2³

2^2x * 20 = 2^x * 40

2^2x / 2^x = 40 / 20

2^2x-x = 2

2^x = 2

x = log₂(2) = 1

Besten Gruß

Comments

Hallo Andreas,
ich empfinde deine Lösung als noch etwas einfacher als
die des mathecoachs weil kein Wechsel in der Basis ( 2 zu 4 )
notwendig war.

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@ georgborn:

Danke Dir Georg!

Dafür habe ich aber ewig lang gebraucht, weil ich mich schon in der 1. Zeile mit einem Vorzeichen vertan und deshalb ein überaus krummes (und falsches) Ergebnis erhalten hatte :-)