Wie löst man diese Wurzelgleichung? √(x+1)+1=√(2x-1)

Question

Folgende Wurzelgleichung ist gegeben:

√(x+1)+1=√(2x-1)

Ich habe versucht beide Wurzeln auf eine Seite zu bringen, dann ()² angewendet und aufgelöst, mit dem Ergebnis x=1, bin mr aber unsicher ob das so korrekt ist.

Danke & Gruß

Stephan

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Probe sagt: Nein!

Zur Vorgehensweise: Quadriere sofort, das ist hier einfacher.

Answer 1

√(x+1)+1=√(2x-1)

Um die Richtigkeit eines Ergebnisse zu überprüfen gibt es die sogenannte
PROBE.
Du setzt dein Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein und überprüftst
ob die Aussage dann wahr wird.

√(1+1)+1=√(2*1-1)
√2 +1 = √ 1  | falsch

√ ( x + 1 ) + 1 = √(2x-1)  | quadrieren
x+ 1 + 2 * √(x+1) + 1 = 2x - 1
2 * √(x+1)  = x - 3  | quadrieren
4 * ( x + 1) = x^2 - 6x + 9
4x + 4 = x^2 - 6x + 9
x^2 - 10x = -5
x^2 - 10 x + 5^2 = -5 + 25
( x - 5 )^2 = 20
x - 5 = ±√ 20
x = ± 4.4721 + 5
x = 9.4721
x = 0.5279 | Scheinlösung durch das Quadrieren

Jetzt noch die Probe machen.
1 sogenannte Scheinlösung ist dabei.

mfg Georg

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Hi Georg,

das ist super! Jedoch fällt mir auf das wohl elementares Wissen fehlt, denn ich verstehe nicht was in Zeile zwei deiner Lösung vonstatten geht. Was muss ich wissen (welche Videos anschauen) damit ich verstehe wodurch der Ausdruck:

x+1+2*√(x+1)+1

auf der linken Seite Zustande kommt ? Ich will ja nicht die Lösung vorgekaut bekommen sondern verstehen was da passiert :)

Danke & Gruß,

Stephan

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Wenn ich mal kurz aushelfen darf, Stephan:

1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² mit

a = √(x+1) und a² = (x + 1)

2ab = 2 * √(x + 1)

und

b = 1 und b² = 1

Insgesamt also

(√(x+1)+1)² = (x + 1) + 2 * √(x + 1) + 1

Besten Gruß

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Einen Lösungsweg den man Schritt für Schritt nachvollziehen
kann kann auch seine Vorteile haben.

[ √(x+1)+1 ]^2
1. Binomische Formel
( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2

( √( x+1) )^2 + 2 * √(x +1) * 1 + 1^2
( x + 1 ) + 2 * √(x +1)  + 1

Answer 2

Hi Stephan,


Deine Lösung ist leider falsch:

√(x+1) + 1 = √(2x-1) | ()²
(x + 1) + 2 * √(x + 1) + 1 = (2x - 1) | - (x + 1) - 1
2 * √(x + 1) = (2x - 1) - (x + 1) - 1 = x - 3 | ()²
4 * (x + 1) = x² - 6x + 9
4x + 4 = x² - 6x + 9 | - 4x - 4
x² - 10x + 5 = 0 | pq
x_1,2 = 5 ± √(25 - 5) = 5 ± √(20)

Nun in die Ursprungsgleichung einsetzen, um zu sehen, ob beide Lösungen gültig sind:
√(5 + √20 + 1) + 1 = √(6 + √20) + 1 ≈ 4,236
√(10 + 2 * √20 - 1 = √(9 + 2 * √20) ≈ 4,236

√(5 - √20 + 1) + 1 = √(6 - √20) n.d., da √20 > 6

Die richtige Lösung lautet also:
x = 5 + √20

Besten Gruß

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Vielen Dank für die Hilfe euch beiden - hab mir die Binomischen Formeln nochmal angeschaut :) Die Idee Null zu setzen um dann PQ anzuwenden ist natürlich auch super, hatte ich jedoch vor lauter Rechnerrei dann nicht mehr im Blick.

Gruß,

Stephan

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Freut mich, wenn ich helfen konnte :-)