Rechenviereck mit Randzahlen: . Ermitteln Sie alle Möglichkeiten für die Innenzahlen (LGS aufstellen)

Question

a) Von einem Rechenviereck ist bekannt, dass die Randzahlen \( a+b=20, a+c=5, b+d=25 \) und \( c+d=10 \) sind. Ermitteln Sie alle Möglichkeiten für die Innenzahlen \( a, b, c \) und \( d \).

b) Wir betrachten nun den allgemeinen Fall: Von einem Rechenviereck sind nur die Randzahlen \( w, x, y \) und \( z \) bekannt (diese Zahlen müssen nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein).

Stellen Sie das zugehōrige lineare Gleichungssystem auf und ermitteln Sie, in welchem Fall es keine Lösung, genau eine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen gibt. Geben Sie jeweils die Lōsungsmenge explizit an.

Answer 1

Zunächst die vier Gleichungen aufstellen, wie es schon in Teil a) vorgemacht wurde - nur anstelle der Zahlenwerte eben Buchstaben:$$w=a+c $$$$ x= a+b $$$$y=b+d$$$$z=c+d$$

Angenehmer schreibt man das in Matrizenform:
$$\begin{pmatrix}  1 & 0&1 & 0 \\  1 & 1&0 & 0 \\ 0 & 1&0 & 1 \\ 0 & 0&1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{matrix} a\\b\\c\\d \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} w\\x\\y\\z \end{matrix}\right) $$

Comments

Woran erkenne ich denn, ob es eine, mehrere oder keine Lösung gibt. Wenn ich die Matrix ausrechne, kommt ja am Ende 0 0 0 0 / 0 raus... Was dann?

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Dann gibt es keine bestimmte Lösung.

Nun kann man versuchen, irgendwelche Fälle zu konstruieren

z.B. d=0 oder d=1 oder d=a oder andere Kombinationen, um Einschränkungen dieses allgemeingültigen GLS zu erhalten.

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$$ \begin{pmatrix}  1 & 0&1 & 0 \\  1 & 1&0 & 0 \\ 0 & 1&0 & 1 \\ 0 & 0&1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{matrix} a\\b\\c\\d \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} w\\x\\y\\z \end{matrix}\right) $$
Wenn d=0 kann die 4.Spalte mit Nullen besetzt werden:
$$ \begin{pmatrix}  1 & 0&1 & 0 \\  1 & 1&0 & 0 \\ 0 & 1&0 & 0 \\ 0 & 0&1 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{matrix} a\\b\\c\\0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} w\\x\\y\\z \end{matrix}\right) $$
Daraus folgt c=z sowie b=y
$$ \begin{pmatrix}  1 & 0&1 & 0 \\  1 & 1&0 & 0 \\ 0 & 1&0 & 0 \\ 0 & 0&1 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{matrix} a\\y\\z\\0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} w\\x\\y\\z \end{matrix}\right) $$
zurück in gewohntere Strukturen ergibt sich daraus:
$$a+z=w $$
$$a+y=x$$
all diese Variablen sollen ja vermutlich aus der Menge der positiven reellen Zahlen stammen, also gilt:
$$a \gt 0 $$
wobei a=0 wieder eine eigene Überlegung wert wäre ...$$$$
woraus dann folgt:
$$w-z \gt 0 $$
$$x-y \gt 0 $$
somit gilt auch:
$$w \gt z $$
$$x \gt y $$