Ohne Taschenrechner z= (1+j√3)^12 berechnen.

Question

ich habe keine ahnung wie ich da rangehen soll

z= (1+jsqrt3)^12

alles ausrechnen ??? also 12 mal miteinander multiplizieren?

es ist einfach eine zahl 4096

aber wie mache ich ohne Wolfram Alpha : )

Comments

Falls einer Lust hat, hier die TeX-Version:
$$ z=(1+\textrm{j}\cdot\sqrt { 3 })^{12} $$

Answer 1

z= (1+jsqrt3)¹²

alles ausrechnen ??? also 12 mal miteinander multiplizieren?

Tipp: Wandle u= (1+j*√3) in Polarkoordinaten um. Dann geht das Potenzieren viel schneller.

https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens#Wichtige_Funktionswerte

Zeigt dir, dass das Argument von u der Winkel 60° = π/3 ist.

Der Betrag von u ist r = √(1 + 3) = 2.

z = u^12 = 2^12 e^ (j * π/3 * 12) = 2^12 * e^ (j*4π) = 2^12

Answer 2

Zeichne dir mal 1 + √3i als Vektor in ein Koordinatensystem ein.
Wie lang ist dieser Vektor und welchen Winkel bildet er mit der x-Achse. Wie können wir diese Dinge nicht nur ablesen sondern auch berechnen.
Wie lautet demzufolge die Exponentialschreibweise dieser Komplexen zahl. --> 2·e^(pi/3·i)
Diese Können wie jetzt leichter potenzieren
(2·e^(pi/3·i))^12 = 2^12·(e^(pi/3·i))^12 = 4096·e^(4·pi·i) = 4096