Binomialkoeffizienten (Induktion). Zeigen Sie folgende Aussage: Σ (n tief k) 2^k = 3^n

Question

Aufgabe Binomialkoeffizienten:

Zeigen Sie folgende Aussagen:

a) \( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{ll}n \\ k\end{array}\right) 2^{k}=3^{n} \)

b) \( \sum \limits_{k=0}^{n} \cos (k \pi)\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=0 \)

c) \( \sum \limits_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) x^{k}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array} \right) x^{n-k} \)

Comments

(n tief k) = (n tief (n-k)) 

Daraus folgt direkt  c)

3^n = (2+1)^n mit (allgemeiner) binomischer Formel berechnen ergibt a)

0^n = (1-1)^n ergibt b)

Zeige daher am besten erst mal den binomischen Lehrsatz: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz

Danach folgen a) und b) wie angegeben direkt.

Answer 1

(n tief k) = (n tief (n-k))  

Daraus folgt direkt  c)

3ⁿ = (2+1)ⁿ mit (allgemeiner) binomischer Formel berechnen ergibt a)

0ⁿ = (1-1)ⁿ ergibt b)

Zeige daher am besten erst mal den binomischen Lehrsatz: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz

Danach folgen a) und b) wie angegeben direkt.

Habe gesehen, dass der Induktionsbeweis bereits vorhanden ist: https://www.mathelounge.de/112843/binomischen-lehrsatz-mit-vollstandiger-induktion-beweisen

Daher nun mein Kommentar als Antwort.