Ist mit <g> als dem zyklischen Erzeuger auch sein Inverses enthalten? -> Verständnisfragen zu Zykl. Gruppen

Question

Hi also ich habe eine Frage zum Verständnis von zyklischen Gruppen.

Sagt mit bitte ob ich da etwas falsch aufgefasst habe.

Eine zyklische Gruppe ist doch im allgemeinen die kleinste von den Trivialen-Untergruppen ("nur das Neutrale Element" und "Die Gruppe Selbst"),
verschiedene Untergruppe. Oder?

Wenn ich als Erzeuger einer Z-Gruppe <g> angebe dann meine ich damit die Untergruppe in der : n, g und 'g(inverse von g). Enthalten ist oder? -> Aufgrund des Untergruppenkriteriums a * b'  € UG mit a,'b € UG

Meint <{g,h}> dass es eine Gruppe ist die mit ihrer Verknüpfung durch g,h,'g,'h,n erzeugt wird?

Ist es korrekt zu sagen, dass <{1,2}> Erzeuger von (Z,+,0) ist, obschon <1> der "kleinste Erzeuger" wäre?

 

Als Beispiel:

<{3,6}> in (Z,+) ist 3Z oder?

und <{2,3}> in (Z,+) ist Z, da mit 3+'2 also 3+(-2)=1 bzw. k*(3+'2), k€N  und k*(3'+2)='1=-1 jedes Element in Z erzeugt werden kann und diese Zyklische Gruppe dann auch als <1> geschrieben werden kann?

 

 
Ich hoffe das war jetzt nicht zu verwirrend.

Comments

Hat keiner eine Meinung dazu? Oder ist das zu wirr aufgeschrieben ?

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mE kannst du einfach nicht von einem Erzeuger sprechen, wenn du da 2 Elemente benötigst. Aber das habe ich dir doch schon mal versucht zu erklären bei  (Z,+,0). Und es war da wahrscheinlich falsch, wenn du jetzt noch weitermachen sollst.

Deshalb sollte wohl jemand anders da noch mal reinschauen.

Answer 1

eine zyklische Gruppe G ist eine Gruppe, die einen Erzeuger g, derart hat, dass für jedes a ∈ G ein n ∈ ℕ existiert, sodass a = g^n (mit der entsprechenden Gruppenverknüpfung).

g^n heißt bei (G, +) zum Beispiel a = g + g + ... + g (n-mal).

Das heißt mit anderen Worten können wir jedes Gruppenelement als Mehrfachverknüpfung des Erzeugers darstellen. Die additive Restklassengruppe modulo 4 zum Beispiel besteht aus den Elementen 0, 1, 2 und 3. 1 und 3 sind Erzeuger der Gruppe, nicht hingegen 2, da 2+2 =0, 2+2+2 =2. Das heißt keine Summe von Zweien führt auf das Element 1 oder 3. Das heißt 2 ist kein Erzeuger von (ℤ/4ℤ, +).

Ist <g> beschreibt die von g erzeugte Gruppe. Es gilt also <g> = G. Im vorigen Beispiel wäre <1> = G, <3> = G, aber <2> ⊂ G, da {0, 2} ⊂ {0, 1, 2, 3} ist. <2> ist folglich eine Untergruppe in G.

Die ganzen Zahlen sind nicht zyklisch da negative Zahlen nicht als Summe positiver (und andersrum) darstellbar sind.

MfG

Mister

Comments

Der erste Satz ist bereits falsch: Es muss nicht n ∈ ℕ sein, es darf auch eine beliebige ganze Zahl sein. Ansonsten wäre jede zyklische Gruppe endlich.

Die ganzen Zahlen bilden also durchaus eine zyklische Gruppe (und jede zyklische Gruppe ist isomorph zu ℤ).

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Hi,

das kommt auf die Definition an. Welchen Erzeuger hat Z?

Z/3Z ist nicht isomorph zu Z.

MfG

Mister

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Stimmt: Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu ℤ.

Als Erzeuger kannst du z.B. 1 wählen.

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Soweit die ersten vier Zeilen aus Wikipedia.

Wie stelle ich -4 mit Hilfe von der Gruppenoperation "+" aus 1 dar?

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Wir reden über den Wikipedia-Artikel "Zyklische Gruppe"?

Gleich in der zweiten Zeile steht dort etwas von wegen a^n mit n ∈ ℤ, nicht n ∈ ℕ. Und knapp darunter wird auch erwähnt, dass die ganzen Zahlen eine (additive) zyklische Gruppe bilden.

Und -4 ist (-4) * 1.

Anders gefragt: Was wäre die Untergruppe von ℤ, die durch 1 erzeugt wird? Nur alle positiven Zahlen? Das ist keine Gruppe.

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Hm, ich sage jetzt mal, das ist komisch. Ich hatte auch ehrlich gesagt endliche Gruppen im Hinterkopf als ich das schrieb.

Ich würde -4 eher so ausdrücken:

-4 = 4 * (-1) = (-1) + ... + (-1)

Also mich würde überzeugen <1, -1> = ℤ. Es soll aber <1> = ℤ gelten. Vermutlich wird mit einem Erzeuger auch das Inverse dieses Erzeugers zulässig, bzw. mit der Gruppenoperation auch die Gruppenoperation mit dem Inversen dieses Erzeugers.

ℕ₀ wäre nur ein zyklischer Monoid mit dem Erzeuger 1. (jetzt haste was gelernt)

MfG Mister

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Natürlich muss das Inverse des Erzeugers enthalten sein, es soll ja eine Gruppe entstehen.

Der zentrale Punkt ist jedenfalls, dass das Erzeugnis eines Elements a aus allen Potenzen von a mit ganzzahligem Exponenten besteht – nicht nur mit natürlichem Exponenten. Im Falle einer additiven Schreibweise also aus allen ganzzahligen Vielfachen. Und natürlich ist jede ganze Zahl ein ganzzahliges Vielfaches von Eins.

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Nein, in endlichen Gruppen braucht man nicht unbedingt das Inverse des Erzeugers, um diese vollends zu erzeugen. Bei (Z/3Z, +) führen ausschließlich Additionen der 1 zur Erzeugung der Gruppe.

Dein zentraler Punkt erklärt auch die Isomporphie sämtlicher zyklischer Gruppen der Größe n zu Z/nZ, wenn wir formal mal annehmen, dass "Z/∞Z = Z" gilt.

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In endlichen Gruppen ist aber natürlich auch das inverse Element des Erzeugers enthalten. Was ich ja oben geschrieben hatte.

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Schon klar, aber es ist nicht für die Erzeugung notwendig.