untersuchung auf monotonie..

Question 1

Zeigen Sie, dass die Folge (an) n ∈ N mit a1 = 1/4

und a_n+1= a²_n+a₁für n >= 1 monoton und beschränkt ist, und bestimme den Grenzwert.

Hat wer einen Ansatz hier zu und kann mir das erklären?

Question 2

(1) Lt. Voraussetzung gilt $a_1\ge\frac14$. Es folgt für alle $n\in\mathbb N$$$\left(a_n-\frac12\right)^2-\frac14+a_1\ge0$$$$\Leftrightarrow a_n^2-a_n+a_1\ge0$$$$\Leftrightarrow a_{n+1}\ge a_n.$$Die Folge ist also monoton steigend.
(2) Zeige per Induktion über $n$, dass $a_n<\frac12$ für alle $n$ gilt.
Induktionsanfang: Klar für $n=1$.
Induktionsschritt: Zeige, dass die Behauptung für $n+1$ gilt, falls die für $n$ gilt.$$a_{n+1}=a_n^2+a_1<\left(\frac12\right)^2+\frac14=\frac12.$$Die Folge ist also nach oben durch $\frac12$ beschränkt.
(3) Die Folge ist monoton steigend und nach oben beschränkt, also konvergent. Der Grenzwert $g$ berechnet sich aus$$g=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.$$

Gast · Answer 1 · 2014-10-27T18:56:26+0000

(1) Lt. Voraussetzung gilt $a_1\ge\frac14$. Es folgt für alle $n\in\mathbb N$$$\left(a_n-\frac12\right)^2-\frac14+a_1\ge0$$$$\Leftrightarrow a_n^2-a_n+a_1\ge0$$$$\Leftrightarrow a_{n+1}\ge a_n.$$Die Folge ist also monoton steigend.
(2) Zeige per Induktion über $n$, dass $a_n<\frac12$ für alle $n$ gilt.
Induktionsanfang: Klar für $n=1$.
Induktionsschritt: Zeige, dass die Behauptung für $n+1$ gilt, falls die für $n$ gilt.$$a_{n+1}=a_n^2+a_1<\left(\frac12\right)^2+\frac14=\frac12.$$Die Folge ist also nach oben durch $\frac12$ beschränkt.
(3) Die Folge ist monoton steigend und nach oben beschränkt, also konvergent. Der Grenzwert $g$ berechnet sich aus$$g=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.$$

untersuchung auf monotonie..

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