untersuchung auf monotonie..

Question

Zeigen Sie, dass die Folge (an) n ∈ N mit a1 = 1/4 

und a_n+1 = a²_n+a₁ für n >= 1 monoton und beschränkt ist, und bestimme den Grenzwert.

Hat wer einen Ansatz hier zu und kann mir das erklären?

Answer 1

(1) Lt. Voraussetzung gilt \(a_1\ge\frac14\). Es folgt für alle \(n\in\mathbb N\)$$\left(a_n-\frac12\right)^2-\frac14+a_1\ge0$$$$\Leftrightarrow a_n^2-a_n+a_1\ge0$$$$\Leftrightarrow a_{n+1}\ge a_n.$$Die Folge ist also monoton steigend.
(2) Zeige per Induktion über \(n\), dass \(a_n<\frac12\) für alle \(n\) gilt.
Induktionsanfang: Klar für \(n=1\).
Induktionsschritt: Zeige, dass die Behauptung für \(n+1\) gilt, falls die für \(n\) gilt.$$a_{n+1}=a_n^2+a_1<\left(\frac12\right)^2+\frac14=\frac12.$$Die Folge ist also nach oben durch \(\frac12\) beschränkt.
(3) Die Folge ist monoton steigend und nach oben beschränkt, also konvergent. Der Grenzwert \(g\) berechnet sich aus$$g=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.$$