Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung:
Ein Pharmaunternehmen stellt Kapseln her. Ihre Form besteht aus einem Zylinder mit zwei aufgesetzten Halbkugeln. Die Kapseln sollen einen Rauminhalt von 0,5 Milliliter haben. Die Dicke der Kapselwand kann vernachlässigt werden.
Bei welchem Zylinderradius \( x \) wird die Oberfläche der Kapsel minimal?
Aufstellen einer Funktion mit mehreren Variablen für die Oberfläche der Kapsel (alle Längenangaben in mm):
Allgemein gilt: \( O_{\text {Zylindermantel }}= ... \) und \( O_{\text{Kugel}} = ... \)
Damit ergibt sich: \( O_{\text {Kapsel }}= \)
Aufstellen einer Bedingung, die die Variablen ... und ... erfüllen müssen:
\( V_{\text {Zylinder }}= ... \) \( \mathrm{V}_{\text {Kugel }}= ... \) und somit \( \mathrm{V}_{\text {Kapsel }}(\mathrm{x})= ... \)
Da das Kapselvolumen \( 0,5 \mathrm{ml} \) ' bzw. \( \mathrm{mm}^{3} \) beträgt, lässt sich die Zylinderhöhe h in Abhängigkeit von \( x \) folgendermaßen ausdrücken: \( h(x)= ... \)
Einsetzen von \( \mathrm{h}(\mathrm{x}) \) in die Formel für die Oberfläche der Kapsel führt auf die Funktion:
\( O_{\text {Kapsel }}=O(x)= ... \)
\( ... < x \leqq ... \)
Bestimmung der Extremwerte der Funktion \( O(x) \):
...
Die kleinstmögliche Oberfläche beträgt ... Sie ergibt sich bei einem Radius von ... und einer Höhe \( \mathrm{h} \) von ...
Eine solche Kapsel hat die geometrische Form einer ...
