Extremwertproblem Aufgabe - Kartonstücke mit Seitenlänge a zu Schachteln ohne Deckeln machen.

Question

Aus quadratischen Kartonstücken mit den Seitenlängen a sollen an den Ecken gleiche Quadrate herausgeschnitten werden, so dass aus den Restflächen durch Falten oben offene Schachteln entstehen. Wie muss die Seitenlänge der herauszuschneidenen Quadrate gewählt werden, damit das Schachtelvolumen maximal wird?

Ich habe mir bereits eine Skizze gemacht:

Hauptbedingung: Volumen= a*b*c (länge*breite*höhe)

Nebenbedingung: Seitenlönge der Quadrate ab hier bin ich mir unsicher

Comments

Ich vermute und hoffe, dass dir die ausführliche Diskussion hier:

https://www.mathelounge.de/106048/extremwertaufgabe-emre-blechquader-ohne-obere-abdeckung

weiterhilft.

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ich gucke es mir aufjedenfall an, aber das von mir ist ja ohne Zahlen :S und von daher ein wenig anders

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Hallo Lu ich verstehe nicht, wie du das hier meinst

V = a^2 * x


und auch das hier verstehe ich nicht:

Seitenlänge des Quadrates sei s.

s = a + 2x <- Warum?

Also: a = s-2x

Am Ende benutzt du die ABC Formel für das Volumen oder?

Answer 1

Hauptbedingung: Volumen= a*b*c (länge*breite*höhe)

Achtung in der Skizze hast du auch ein a! Annahme das ist dort das kleine Stück in der Mitte:

Dann gilt V = a^2 * x

Nebenbedingung: Seitenlönge der Quadrate ab hier bin ich mir unsicher

Seitenlänge des Quadrates sei s.

s = a + 2x

Also: a = s-2x

Daher Zielfunktion

V(x) = (s-2x)^2 * x = (s^2 - 4sx + 4x^2 )*x = s^2 x - 4sx^2 + 4x^3

V ' (x) = s^2 - 8sx + 12x^2 = 0

abc-Formel (schon wieder anderes a!)
a = 12, b = -8s, c = s^2

x1,2 = 1/24 ( 8s ± √(64s^2 - 48s^2)=

1/24 ( 8s ± √(16s^2)=

= 1/24 ( 8s ± 4s) 

x1 = 12/24 s = 1/2 s

x2 = 4/24 s = 1/6 s        

Aus Realität ist klar, dass für x = 1/2 s das Volumen 0 ist.

Daher muss in x = 1/6 s  die gesuchte Maximalstelle liegen.