Grenzwertberechnung / Konvergenzprüfung von a_n = n. Wurzel aus (n²+5)

Question

Vielleicht hat jemand eine Idee wie man die Konvergenz / Divergenz bzw. den Grenzwert hiervon zeigt:

$$a _ { n } = \sqrt [ n ] { n ^ { 2 } + 5 }$$

Das $\lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { n } = 1$ bringt mich an der stelle nicht weiter.

Answer 1

(n² + 5)^1/n
= (n² * (1 + 5/n²))^1/n
= (n² * (1 + 0))^1/n
= (n² * 1)^1/n
= (n²)^1/n
= (n^1/n)²
= (n^1/n)²
= (1)²
= 1

Comments

Ist das nicht der "Fehler" des später betrachteten n?

Du prüfst ja erst was innerhalb der klammer passiert und beachtest erst später das äußere n.

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Ich denke das darf ich hier machen weil ich die n. Wurzel ziehe und nicht die Potenz bilde. Wenn ich 1.1ⁿ bilde kommt ja unendlich heraus. Wenn ich die n. Wurzel ziehe kommt dort 1 heraus.

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Hier ein Gegenbeispiel zu dem vorgehen:

$$\begin{array} { l } { \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } = e } \\ { \text { nicht } } \\ { \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } = \lim _ { n \rightarrow > \infty } ( 1 + 0 ) ^ { n } = 1 } \end{array}$$

Oder sehe ich da was falsch. Schon mal 1000 Dank dass du dich damit befasst.

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Ja das siehst du falsch. Hier darf man es nicht machen!

Weil 1.1^n mit n gegen unendlich immer größer wird.

Was passiert aber mit 1.1 wenn ich daraus die n. Wurzel ziehe. Genau. Das nähert sich eher noch weiter der 1 an.

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Also man muss hier unterscheiden ob man etwas hoch n hat oder hoch 1/n.

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Was meinst du mit 1.1ⁿ ? Jedenfalls gibt WolframAlpha dir recht ;)

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1 + 1/n ist ja nicht genau 1 sondern etwas mehr. Ok nicht 1.1 aber die 1.1 sollen anzeigen das es nicht genau 1 ist.

Potenziert man es divergiert die Folge 1.1^n. Nimmt man allerdings die n. Wurzel konvergiert die Folge 1.1^{1/n}

Daher darf ich das so auch getrennt machen.

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Ok ich glaub ich habs verstanden.