Grenzwertberechnung / Konvergenzprüfung von a_n = n. Wurzel aus (n²+5)

Question

Vielleicht hat jemand eine Idee wie man die Konvergenz / Divergenz bzw. den Grenzwert hiervon zeigt:

$$ a _ { n } = \sqrt [ n ] { n ^ { 2 } + 5 } $$

Das \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { n } = 1 \) bringt mich an der stelle nicht weiter.

Answer 1

(n^2 + 5)^{1/n}
= (n^2 * (1 + 5/n^2))^{1/n}
= (n^2 * (1 + 0))^{1/n}
= (n^2 * 1)^{1/n}
= (n^2)^{1/n}
= (n^{1/n})^2
= (n^{1/n})^2
= (1)^2
= 1

Comments

Ist das nicht der "Fehler" des später betrachteten n?

Du prüfst ja erst was innerhalb der klammer passiert und beachtest erst später das äußere n.

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Ich denke das darf ich hier machen weil ich die n. Wurzel ziehe und nicht die Potenz bilde. Wenn ich 1.1^n bilde kommt ja unendlich heraus. Wenn ich die n. Wurzel ziehe kommt dort 1 heraus.

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Hier ein Gegenbeispiel zu dem vorgehen:

$$ \begin{array} { l } { \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } = e } \\ { \text { nicht } } \\ { \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } = \lim _ { n \rightarrow > \infty } ( 1 + 0 ) ^ { n } = 1 } \end{array} $$

Oder sehe ich da was falsch. Schon mal 1000 Dank dass du dich damit befasst.

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Ja das siehst du falsch. Hier darf man es nicht machen!

Weil 1.1^n mit n gegen unendlich immer größer wird.

Was passiert aber mit 1.1 wenn ich daraus die n. Wurzel ziehe. Genau. Das nähert sich eher noch weiter der 1 an.

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Also man muss hier unterscheiden ob man etwas hoch n hat oder hoch 1/n.

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Was meinst du mit 1.1ⁿ ? Jedenfalls gibt WolframAlpha dir recht ;)

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1 + 1/n ist ja nicht genau 1 sondern etwas mehr. Ok nicht 1.1 aber die 1.1 sollen anzeigen das es nicht genau 1 ist.

Potenziert man es divergiert die Folge 1.1^n. Nimmt man allerdings die n. Wurzel konvergiert die Folge 1.1^{1/n}

Daher darf ich das so auch getrennt machen.

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Ok ich glaub ich habs verstanden.