Gegeben ist die Wurzelfunktion f(x)= √(x^2-9). Für welche y ist y=f(x) (eindeutig) lösbar?

Question

Gegeben sei die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\sqrt{x^{2}-9} . \)

(a) Für welche \( y \in \mathbb{R} \) ist die Gleichung \( y=f(x) \) lösbar bzw. eindeutig lösbar?

(b) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich \( D \) der Funktion \( f \) an.

(c) Berechnen Sie das Bild \( f([3,6]) \).

(d) Bestimmen Sie \( \left.\left.f^{-1}(f(]-4,-3]\right)\right) \).

Answer 1

Der Wert in der Wurzel muß positiv oder 0 sein
x^2 - 9 ≥ 0
x^2 ≥ 9
x ≥ 3
x ≤ -3

Berechnen Sie das BIld f ( |3,6| ).
Was ist das ?

Die Umkehrfunktion schon einmal
y = √ ( x^2 - 9 )
x und y tauschen
x = √ ( y^2 - 9 )
x^2 = y^2 - 9
y^2 = x^2 + 9
y = ±√ ( x^2 + 9 )
f ^-1 = ±√ ( x^2 + 9 )

Comments

\(f([3,6])\) ist das Bild der Menge \([3,6]\) unter der Funktion \(f\), also \(f([3,6]):=\{f(x)|x\in[3,6]\}\).

Ist \(A\subseteq{R}\), dann ist \(f^{-1}(A)\) das Urbild von \(A\) unter \(f\), also \(f^{-1}(A):=\{x\in D | f(x)\in A\}\).
Mit der Umkehrfunktion hat das erstmal nicht viel zu tun (diese existiert hier auch gar nicht, weil f nicht bijektiv ist).

Noch ein Hinweis: Du hast oben geschrieben:
x² - 9 ≥ 0
x² ≥ 9
x ≥ 3
x ≤ -3

Es wäre vielleicht besser, da am Ende zu schreiben: \(x\geq 3\) oder \(x\leq -3\).

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wäre dann bei der 3. aufgabe, also "berechnen sie das bild f ([3,6])" das ergebnis:

{0 ; 5,2}

oder wie muss ich das verstehen? :)

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Es sind ja nicht nur diese beiden Zahlen im Bild von [3,6] enthalten, sondern auch alle dazwischen. D.h. das Bild ist ein Intervall. Außerdem ist es besser, nicht zu runden, also: \(f([3,6])=[0,\sqrt{27}]\).

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achso, d.h. geschweifte klammern bedeuten nur die beiden zahlen (in dem fall 0 und wurzel aus 27)

und wenn ich es in eckige klammern fasse heißt es alles von 0 bis wurzel aus 27 ja?

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\(\{...\}\) ist eine Menge, die alles enthält, was man innerhalb der geschweiften Klammern schreibt. Z.B.\(\{0,1,\sqrt{2}, \pi, -\frac{3}{8}\}\). Oder auch \(\{1,2,3,...\}=\mathbb{N}\).

Zur Intervallschreibweise siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29#Beschr.C3.A4nkte_Intervalle

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und bei der 4. aufgabe geht es dann genauso?

ich setze -4 und -3 in die umkehrfunktion (f ^-1 = ±√ ( x² + 9 )) ein und gebe das dann als intervall an?

also f^-1(f(]-4,-3])) = [5,√18]

oder wie kann ich das verstehen?

Danke für deine Hilfe !!

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Wie oben schon geschrieben, bezeichnet \(f^{-1}\) hier nicht die Umkehrfunktion (die gar nicht existiert), sondern das Urbild einer Menge.
Berechne zuerst \(f(]-4,-3])\) und davon dann das Urbild.

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also wäre das urbild [√7, 0] ??

sry ich sehe mit dem urbild echt nicht durch, muss ich mir morgen im tut erklären lassen, muss dort allerdings auch die HA abgeben, weshalb ich die aufgabe 4 noch bräuchte :)

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Nein, das ist nicht das Urbild.
\([0, \sqrt{7}[\) ist das Bild von \(]-4, -3]\), also \(f(]-4, -3])\) (das rechte Intervallende gehört nicht dazu).

Jetzt musst du davon das Urbild bestimmen, d.h. alle Werte aus dem Definitionsbereich, deren Funktionswert in \([0, \sqrt{7}[\) liegt.

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also alle x werte, die in einem y wert von 0 bis √7 innerhalb des intervalls liegen?
das wären doch die x werte von -4 bis -3, sowie von 3 bis 4 ...
d.h. ([-4, -3] ∪ [3,4])  ??

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Fast richtig. Überlege aber nochmal, welche der Intervallgrenzen mit zum Urbild gehören und welche nicht.

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]-4, -3] ∪ [3,4[
??
mehr würde mir jetzt echt nicht einfallen, da ich mich dazu echt nicht auskenne ... :(
also falls es das nicht ist würde ich mich freuen wenn du mir die antwort schreiben könntest das ich es morgen erstmal für die HA zum abegeben habe & mich dann im tutoroium nochmal näher mit bildern & urbildern beshcäftigen kann :)

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Keine Sorge, es stimmt. :-)

Übrigens gilt: Ist \(f: \mathbb{R}\supseteq D\to \mathbb{R}\) injektiv, dann gilt für alle Mengen \(A\subseteq D: f^{-1}(f(A))=A\).
Unsere Funktion ist aber nicht injektiv, deswegen ist das Urbild vom Bild von ]-4,-3] nicht gleich ]-4,-3].
Allerdings gilt für jede beliebige Funktion  \(f: \mathbb{R}\supseteq D\to \mathbb{R}\) (auch für nicht-injektive): \(A\subseteq f^{-1}(f(A))\) für jede Menge \(A\subseteq D\).

Das kannst du ja mal versuchen, zu beweisen, wenn du dich näher mit Bildern und Urbildern beschäftigst. ;-)