Beweisen, dass M1 ⊂ M2 gilt

Question

Gegen M1 = {n ∈ N | n ist ungerade} , ungerade heißt  ∃m ∈ N : n + 1 = m+m

und die Menge M2 sei folgendermaßen induktiv definiert:

1 ∈ M2;

wenn k ∈ M2, so auch (k + 4) ∈ M2.

Keine weiteren Zahlen liegen in M2.

Beweisen Sie, dass M1 echte Teilmenge von M2 ist.

Answer 1

M1 enthält die Elemente 1;3;5;7;9; etc.
M2 enthält die Elemente 1;5;9;13 etc

Für den Nachweis muss man sich aber wohl genau an die
getroffene Definition halten. Für echte Teilmenge muss man erst
mal zeigen:  
Alle Elemente von M2 sind ungerade.
Wegen der induktiven Definition zeigt man dies
wohl am besten mit vollst. Induktion.
Also Anfang:   1 ist ungerade.  Das ist richtig, denn es existiert ein m aus N
mit 1+1=m+m. Man wähle nämlich m=1.

sei nun k aus M2, also ungerade, dann ist zu zeigen k+4 ist auch ungerade.
Nach der "Ungeradigkeitsdefinition ist zu zeigen
      Es gibt ein m aus N mit (k+4) + 1 = m+m
   Andererseits war ja k ungerade, d.h. es gibt ein 1m aus N mit k+1 = m1 +m1
Wähle nun m2=m1+2 dann gilt    (k+4)+1
                                                           = k+1 + 4
                                                         =   m1 + m1 + 4
                                                            = m2+m2
Also k+4 auch ungerade.  
Damit ist gezeigt:   Alle El. von M2 sind ungerade.
"echte" Teilmenge heißt: Es gibt ein x aus M1, welches nicht in M2 ist.

Das ist z.B. für 3 der Fall. Beweis: 3 ist ungerade, denn es gibt
 ein m aus N mit    3+1=m+m. Wähle nämlich m=2.
3 ist nicht in M2, denn durch die Definition erhält man das nächste El.
von M" immer durch Addition von 4, Nach 1 kommt man zu 5 und danach zu immergrößeren
Elementen von N. Deshalb wird 3 nicht erreicht.
q.e.d.

                                                     

Answer 2

da stimmt was nicht. \( M_1 \) ist die Menge der ungeraden Zahlen, also \( M_1=\{1, 3, 5, ...\} \) und \( M_2=\{ 1, 5, 9 ... \}  \)

Daran sieht man ja sofort, das \( M_1 \) keine Teilmenge von \(  M_2 \) ist. Das genau umgekehrte ist der Fall.