Sachaufgabe mit Astronaut und Mutterschiff, gesucht ist ein Punkt

Question

Hier die vollständige Aufgabe:

Ein Astronaut bewegt sich relativ zu seinem Mutterschiff auf einer parabelförmigen Kurve. Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in das Mutterschiff, so kann diese Kurve durch die Funktion f(x)=15/2-1/2*x²  beschrieben werden. Der Astronaut verfügt über Antriebsdüsen, welche dem Astronauten den Parabelflug ermöglichen. In welchem Punkt der Kurve müssen die Antriebsdüsen abgeschaltet werden, damit der Astronaut sein nächstes Ziel P(8/0) geradlinig erreichen kann?

Okay also ich hatte was ausprobiert, mit Nullstelle ausrechnen und so quatsch, also ging jedenfalls nicht, kam nicht lösbar raus. wenn ich grade so nachdenke, macht das auch keinen sinn, weil ich die stelle ja habe... oupsie.. naja jedenfalls bin ich bisschen ratlos gerade... habe irgendwo was gelesen, man kann da die tangentengleichung ansetzen?

wäre echt lieb, wenn mir jemand helfen könnte!

Answer 1

Legt man den Ursprung des Koordinatensystems in das Mutterschiff, so kann diese Kurve durch die Funktion f(x)=15/2-1/2*x²  beschrieben werden.

P(8/0)

Ich rechne mal etwas rum. (Es ginge sicher auch kürzer).

f ' (x) = -x

f ' (xo) = -xo       . Steigung im Punkt Q(xo| f(xo))

Tangente t: g(x) = -xo * x + q   durch P(8|0)

0 = -xo*8 + q   -----> q=8*xo

f(xo) = 15/2 -1/2*xo^2

g(xo) = -xo^2 + q = -xo^2 + 8xo 

15/2 -1/2*xo^2 = -xo^2 + 8xo  | * 2

15 - xo^2 = -2xo^2 + 16xo

xo^2 - 16xo + 15 = 0         |quadr. Gleichung faktorisieren

(xo - 15)(xo-1) = 0

xo = 15, xo = 1

Rechne mal bis hierhin nach. 

Der gesuchte Punkt Q sollte dann wohl 

Q(1 | 15/2 - 1/2 ) = (1 | 7) sein, damit sich die Flugrichtung nicht umdrehen muss.

Zur Kontrolle:

für xo=1 ==> q=8 und Tangentengleichung t: g(x) = -x + 8 schneidet x-Achse in P(8|0).

Comments

wow, erst mal vielen vielen dank für diese ausführliche antwort!!

...habs nur nicht ganz verstanden... wieso rechnest du mit x_o?

müsste ich nicht irgendwie mit  m_f=-1/m_g oder so rechnen?

also auf jeden fall hab ich schonmal dieselbe Ableitung raus.

könntest du mir vielleicht einfach nochmal eine erklärung schreiben, was genau du da gemacht hast?

also nicht alles nochmal aufschreiben, das wäre megaviel, einfach nur erklärung dann kann ich mir die zusammen mit deinem beitrag mal angucken... wäre furchtbar nett!

ich kenne das glaube ich nämlich gar nicht, so auf das ergebnis zu kommen....

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hilfe!!! brauche wirklich unterstützung ._. :(

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So hab ich mir das vorgestellt. Q(xo | f(xo) ) ist der Berührungspunkt, für den ich dann xo = 1 rausbekommen habe. Die blaue Tangente muss ja durch P(8|0) gehen.

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danke!!!

also so in etwa sieht meine graphik auch aus, nur halt eben ohne tangente....

bloß mit diesem x_o komme ich halt nicht klar...

ich hätte als erstes die erste ableitung gebildet und danach die steigung ermitteln wollen... oder kann ich die steigung nicht ermitteln? und dann mit der gleichung m_f=-1/m_g weitergrechnet, die mit f(x) gleichgesetzt und so... dann x ausgerechnet, y ausgerechnet und dann die gleichung...?

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 m_f=-1/m_g 

Das brauchst du nur, wenn 2 Geraden senkrecht aufeinander sind. Bei Tangenten sind die Steigungen von Kurve und Gerade gleich.

D.h. mf = mg.

Die Steigung mf an der vorerst Stelle xo ist f ' (xo) = -xo. Die habe ich oben ja auch ausgerechnet.

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achso, also ist die gleichung an der stelle mist... okay... aber ich komme mit deinem x_o nicht klar... tut mir voll leid ehrlich! irgendwie haben wir das nie so gerechnet... also ich kenne das so nicht...  :S

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Kannst du denn noch nicht ableiten?

Macht iht das beim Thema quadratische Gleichungen?

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doch, klar kann ich ableiten

ich bin in der 11.,wir machen das halt gerade und haben eine fette hausaufgabe auf und die aufgabe ist halt teil davon... so mit orthogonalen und so

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Orthogonal ist hier aber in der Skizze gar nichts.

Meine Steigung von  f  in Q . f(x)  ableiten:

f ' (x) = -x

f ' (xo) = -xo     ist das mf im Punkt Q(xo| f(xo)) . xo ist halt noch nicht bekannt.

Nun musste ich das gleichsetzen mit mg, das ich noch gar nicht kannte. Daher oben das Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten.

Answer 2

Es gibt eine Tangente der Parabel, die durch den Zielpunkt läuft.

Ansatz Geradengleichung mit Zweipunktform und Steigung gleich Ableitung im Punkt der Parabel, an dem die Tangente liegt.

Comments

okay also im prinzip muss ich die tangentengleichung ermitteln?

was ist die zweipunktform?

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Genau, Tangentengleichung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Zweipunkteform

aber es gibt viele Umwege nach Rom ... mach es so wie du es gelernt hast

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okay also wir haben es nicht mit zweipunkteform gemacht... kann also gar nichts damit anfangen... lernen wir vielleicht später noch...

auf jeden fall als erstes erste ableitung bilden und dann die steigung ermitteln... aber wie? Nehme ich da die x-stelle, also in dem fall 8 dafür?

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Du musst zwei Gleichungen ansetzen, weil ja der Punkt, an dem die Tangente liegt, noch unbekannt ist.

I:Gerade aus den zwei Punkten (x,f(x)) und (0,8)

II:Gerade aus der Steigung f'(x) und dem Punkt (0,8)

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ich habe es jetzt raus!!!

großes riesiges dankeschön an alle, die mir geholfen haben!! besonders an Lu!