Wieso hat kein LGS 2 Lösungen wenn der Grundkörper lR ist und nie 3 Lösungen wenn der Grundkörper lF2 ist?

Question

Ja der Fragetitel sagt bereit alles, wenn wir ein lineares Gleichungssystem haben, welche auf dem Grundkörper lR aufgebaut ist, kann es nie 2 Lösungen geben, wieso? Wieso gibt es niemals 3 Lösungen, wenn der Grundkörper lF₂ ist?

Comments

Sicher, dass diese Aufgabe vollständig angegeben ist?

Answer 1

Wenn du so ein LGS auf Stufenform (Dreiecksform) bringst und
sukzessive eine Variable nach der anderen ausrechnest, kommst
du für jedes xi auf eine Gleichung der Art    a *  xi  = b
Diese hat für a <>0 genau eine Lösung und
für a=0  entweder keine (für b<>0) oder
unendlich viele Lösungen (für b=0)
Also hat auch so ein LGS genau eine, unendlich viele oder keine.
Aber niemals genau 2.

Über F2 sind es im Fall  0*xi=0 nicht unendlich viele, denn es
gibt ja nur 2 Elemente, also sind es dann genau 2.
Wenn das bei mehreren Variablen eintritt sind es eben 4,8,16 etc.

Es gibt als o keine, genau eine oder eine Anzahl, die eine
Zweierpotenz ist;  jedenfalls keine 3