zeige ob k x K ein körper ist

Question

Bei dieser Aufgabe sind wir unsicher beim Lösungsweg.

Sei K ein Körper derart, dass es kein x ∈ K gibt, mit x² = −1.

Man zeige, dass K ×K mit der Addition und Multiplikation gegeben durch
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
ein Körper ist.

Hierbei sollen wir zeigen, dass die Körperaxiome bei den Vektoren gelten.

+

Assozi.:

sei x=(a,b) y=(c,d) z=(e,f) dann gelte für alle x,y,z:

x+(y+z) = (a,b) + ((c,d) + (e,f)) = (a,b)+(c+e, d+f) = (a+c+e, b+d+f) = (a+c,b+d)+(e,f)

= (x+y)+z              

Ist dieser Ansatz korrekt?

Grüße und vielen Dank.

Ps.: Die Aussage mit dem x² = −1 gehört wahrscheinlich zum 2. Teil der Aufgabe.

Answer 1

Soweit korrekt.  Das mit dem ungleich -1 brauchst du wahrscheinlich erst bei

der Existenz von Inversen und so.