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Finden Sie eine Nullfolge (an)n∈ℕ, so dass an > 0 für alle n ist und $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n-1 } } { a }_{ n } $$ nicht konvergiert. Geben Sie eine ausführliche Erklärung.

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Guck dir nochmal das Skript an.(Satz 5.7)

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ich vereinfache zunächst mal die Reihe in der Aufgabenstellung zu

\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \).         (1)

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\( a_n = 2 \frac{1}{\frac{n}{2}} \) für n gerade und

\( a_n = \frac{1}{\frac{n+1}{2}} \) für n ungerade.

Dann ist

\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n = \sum_{n \text{ gerade}} a_n - \sum_{n \text{ ungerade}} a_n \)

\( = 2 \sum_{n \text{ gerade}} \frac{1}{\frac{n}{2}} - \sum_{n \text{ ungerade}} \frac{1}{\frac{n+1}{2}} \)

\( = 2 \sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)

\( =  \sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty \).

Damit ist eine Nullfolge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) gefunden mit \( a_n > 0 \) für alle \( n \), sodass die Reihe (1) nicht konvergiert.

Mister

Avatar von 8,9 k

Damit es sich um eine Nullfolge handelt, muss doch 0 rauskommen und nicht unendlich oder ist das egal=?

\( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ist doch eine Nullfolge. Diese ist so gewählt, dass die Reihe divergiert, sprich die Folge ihrer Partialsummen nicht konvergiert.

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Versuchs mal mit der Folge \(  a_n=(-1)^n\frac{1}{n} \) und bedenke das die harmonische Reihe nicht konvergiert.

Avatar von 39 k

"... so dass an > 0 für alle n ... "

Gilt hier \(a_n>0\)?

Ja das hab ich überlesen. Dann ist vielleicht hier ein Gegenbeispiel

https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

Dieses Gegenbeispiel setzt die Eigenschaft voraus, dass die Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton fallend ist. Die Aufgabenstellung hier ist allerdings schwächer.

Die Folge ist nicht monoton fallend. Die ersten Gleider sind

$$  0, 1, 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{9}, \frac{1}{3} $$

Das Leibnizkriterium beinhaltet die Einschränkung auf monoton fallende Folgen \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \).

Das Leibnizkriterium liefert an sich also kein Gegenbeispiel für die obige Aussage.

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