an^2 Nullfolge -> auch an Nullfolge

Question

Aufgabe:

Ist (an^2) eine Nullfolge, so ist auch (an) eine Nullfolge.

Problem/Ansatz:

Sei ε größer 0 beliebig

| (an*an) - 0| = |an*an| = |an|*|an| = 0*0 kleiner ε.

Ich glaube dass mein Ansatz irgendwie falsch ist, weiß aber nicht, wie man es besser machen kann. Wahrscheinlich muss ich angeben, dass an nicht gegen null sondern irgendwas mit ε läuft, bin mir aber nicht sicher. Vielleicht ist es auch ganz die falsche Idee?

Comments

Soll (an²) vielleicht (a_n)² heißen?

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Ich bin leider selbst nicht ganz sicher, auf dem Blatt steht (a²_n)

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Sieht ganz stark nach \(a_n^2\). Es geht ja um Folgen und es sollte bei solch einer Bezeichnung auf jeden Fall ein Folgenindex vorkommen.

Answer 1

(a²n) = (a_n)*(a_n).

\(  \lim\limits_{n \to \infty} (a_n)^2 = 0  \)

==>  \(  \forall \epsilon >0   \exists N \in \mathbb{N} \text{ mit }  n>N ==> |(a_n)^2 | < \epsilon  \)

zu beweisen ist unter dieser Voraussetzung \(  \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0  \)

Dazu ist zu prüfen:

\(  \forall \epsilon >0     \exists N \in \mathbb{N} \text{ mit }  n>N ==> |a_n|  < \epsilon \)

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Deine Idee ist gut, ich würde sie nur sauberer aufschreiben...

Die Notation \((a_n^2)\) ist etwas unglücklich gewählt, ich schreibe stattdessen \((a_n\cdot a_n)\), um klar zu machen, dass \(((a_n)^2)\) und nicht \(((a^2)_n)\) gemeint ist.

Die Behauptung lautet:$$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot a_n)=0\implies\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)=0$$

Wir wählen ein \(\varepsilon>0\) beliebig und halten es fest. Dann ist auch \(\varepsilon^2>0\) und wegen der Null-Konvergenz von \((a_n\cdot a_n)\) gibt es ein \(n_0\in\mathbb N\), sodass gilt:$$\left|a_n\cdot a_n\right|<\varepsilon^2\quad\text{für }n\ge n_0$$Wegen \(|a_n\cdot a_n|=|a_n|^2\) können wir auf beiden Seiten der Ungleichung die Wurzel ziehen, sodass auch gilt:$$|a_n|<\varepsilon\quad\text{für }n\ge n_0$$Also ist auch \((a_n)\) eine Nullfolge.

Comments

Mist, ich wollte eigentlich deine Antwort als beste auszeichnen, hab mich verdrückt. Deswegen nochmal so danke, hoffe du nimmst's mir nicht übel :)

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Passt schon, kann passieren...

Und die Antwort von mathef ist ja auch gut.

Answer 3

Um zu beweisen, dass, wenn \((a_n^2)\) eine Nullfolge ist, auch \((a_n)\) eine Nullfolge ist, können wir das mithilfe der Kontraposition zeigen. Die Kontraposition der Aussage "Wenn \(a_n^2\) eine Nullfolge ist, dann ist \(a_n\) eine Nullfolge" lautet: "Wenn \(a_n\) keine Nullfolge ist, dann ist \(a_n^2\) keine Nullfolge."

Angenommen, \((a_n)\) ist keine Nullfolge. Das bedeutet, es existiert ein \(\varepsilon > 0\), sodass für alle \(N\) in den natürlichen Zahlen ein \(n \geq N\) existiert, für das \(|a_n| \geq \varepsilon\) gilt.

Nun betrachten wir \((a_n^2)\). Da \(|a_n| \geq \varepsilon\) für alle \(n \geq N\) (gemäß unserer Annahme), ergibt sich \(|a_n^2| = |a_n|^2 \geq \varepsilon^2\) für diese \(n\). Daher ist \(|a_n^2|\) nicht kleiner als \(\varepsilon^2\) für unendlich viele \(n\), was zeigt, dass \((a_n^2)\) keine Nullfolge ist.

Daraus folgt, dass wenn \((a_n^2)\) eine Nullfolge ist, dann ist auch \((a_n)\) eine Nullfolge.

^{Diese Antwort wurde mithilfe einer künstlicher Existenz erstellt.}