Konvergenz von Reihen berechnen

Question

Welche der folgenden Reihen konvergieren bzw. konvergieren absolut?

1) ∑(von n=1 bis ∞) (3+(-1)^n)^-n

2) ∑(von n=1 bis ∞) ((-1)^n/(√(2n+3)))

3) ∑(von n=1 bis ∞) ((-1)^n*(n/(n^2+n+1)))

Die 1) und 3) sehen nach Leibniz Kriterium aus, die 2) nach Wurzelkriterium. Stimmt das oder liege ich total falsch? Hat vielleicht noch jemand einen Tipp für mich?

Answer 1

Bei a würde ich das Wurzelkriterium nehmen

du hast doch a_n = (3+(-1)ⁿ)^-n  =  1   /  (3+(-1))ⁿ   wegen neg. Exponent
dann ist n-te Wuzel aus a_n   = 1   / (3+(-1)^n )  alos ist das für alle n aus IN
kleinergleich 1/2.    Denn es ist ja immer abwechselnd  0,5 oder 0,25
Also gibt es ein q<1  (nämlich o,5) dass für alle n gilt
n-te Wurzel aus |an|    ist kleiner oder gleich q, also nach
Wurzelkriterium konvergent.

Bei c sieht es mehr nach Leibniz aus, denn es ist alternierend
(wegen des (-1)^n  und   für  n gegen unendlich geht

(n/(n²+n+1)) gegen Null, weil der Grad im Nenner größer

ist als im Zähler.

Comments

Danke, das hilft mir schon mal weiter!