Eine wichtige Frage zu direkten Produkten von Ringen

Question

Sind R₁, R₂ Ringe, so sei auf R = R₁×R₂ die komponentenweise Addition und Multiplikation

erklärt:

(a₁, a₂) + (b₁, b₂) := (a₁ + b₁, a₂ + b₂),        (a₁, a₂) · (b₁, b₂) := (a₁ · b₁, a₂ · b₂).

Zeigen Sie: R ist ein Ring. R ist genau dann kommutativ, wenn R₁ und R₂ kommutativ sind.

R ist unitär, wenn R₁ und R₂ unitär sind.

Answer 1

Fang doch einfach mal an:
beide ringe kommutativ   und  (a₁, a₂) und (b₁, b₂) aus R
dann folgt (a₁, a₂) * (b₁, b₂)
              =        (a₁ * b₁, a₂ * b₂).
                =       ( b₁ * a₁, b₂ * a₂).
              =    (b₁, b₂) * (a₁, a₂)
umgekehrt  R kommutativ folgt beide kommutativ geht fast genauso.

unitär:   beide haben 1-Element
dann ist  (1;1) das 1-Element von R
umgekehrt:
R hat 1-Element (a,b)   dann gilt für alle (x;y) aus R
                  (x;y) * (a;b) = (x;y)
                 ( x*a ; y*b )  =  (x;y)
also   x*a=x und y*b=y für alle x aus R1 und y aus R2
also a und b Einselmente von R1 bzw. R2

Comments

Vielen Dank, dann habe ich es doch richtig gemacht ! ^^:)