a)es ist i^2 = -1 und damit alle Potenzen mit geradem Exponenten aus IR.
Bei den ungeraden ist es immer ein Vielfaches von i, also nicht in IR.
b) Zeichnerisch wäre das ja so: 1+i der Pfeil, der von (0/0) zu (1/1) geht.
Pfeile mit Im-teil > 0 müssen im 1. oder 2. Quadranten enden.
z=1+i ist der Pfeil, der von (0/0) zu (1/1) geht. Der Winkel zur pos. IR-Achse ist also 45°.
Beim potenzieren wird der Winkel immer mit dem Exponenten multipliziert, wäre also
bei (1+i)^2 dann 90° etc.
Die Vielfachen von 45° sind also 45°, 90° , 135°, 180° (dann liegt die Pfeilspitze auf der
reellen Achse, also Im-Teil 0, Probe: z^4=-4 passt)
Damit ist Im(z^n) > 0 erst mal nur für n = 1 ; 2 ; 3
für n=4 bis n=8 liegen die Pfeilspitzen auf der IR-Achse oder unterhalb, also Im <=0.
ab n=9 sind sie wieder im 1.Quadranten und dann also auch für 10, und 11.
also wäre es bei b) { n aus Z | es gibt ein k aus Z mit n=8k+1 oder n=8k+2 oder n=8k+3}
oder netter { n aus Z | n MOD 8 in {1;2;3} }
Für d hätte ich auch noch was:
mit z=a+bi ist zquer^2 = a^2+b^2 - 2abi und iz = -b + ai
Damit die gleich sind, muss gelten
a^2+b^2 = -b und -2ab = a
1. Fall: a=0 dann ist die zweite Gleichunger füllt und
es muss noch b^2=-b gelten, also b^2+b = 0 also b(b+1)=0 also b=o oder b=-1.
2. Fall: a ungleich 0, dann 2. Gleichung durch a, gibt -2b=1 also b=-1/2
in die ertse eingesetzt a^2 + 1/4 = 1/2
a^2 = 1/4
a= + 1/2 0der a= - 1/2
Damit insgesamt Lösungmenge
{ o ; -i ; 1/2 - (1/2) i ; -1/2 - (1/2)i }
